Концепции современного естествознания Гусейханов Раджабов (стр. 94 из 104)

19.3. Методы математического моделирования

Тот, кто хочет решать вопросы естественных наук без помощи математики, ставит неразрешимую задачу. Следует измерять то, что измеримо, и делать измеримым то, что таковым, не является.

Г. Галилей

Выявление общего, существенного, присущего всем системам определенного рода производится наиболее общим приемом —

481

математическим моделированием. При математическом моделировании систем наиболее ярко проявляется эффективность единства качественных и количественных методов исследования, характеризующая магистральный путь развития современного научного познания.

Всякая сложная система, модель которой мы создаем, при своем функционировании подчиняется определенным законам — физическим, химическим, биологическим и др. Рассматриваются такие системы, для которых знание законов предполагает известные количественные соотношения, связывающие те или иные характеристики моделируемой системы. Модель создается для ответа на множество вопросов о моделируемом объекте. Интересуясь некоторыми аспектами функционирующей системы, изучают ее с определенных точек зрения. Направления изучения системы в значительной степени и определяет выбор модели. Опишем процесс построения математической модели сложной системы. Его можно представить состоящим из следующих этапов:

1. Формулируются основные вопросы о поведении системы, ответы на которые мы хотим получить с помощью модели.

2. Из множества законов, управляющих поведением системы, учитываются те, влияние которых существенно при поиске ответов на поставленные вопросы.

3. В дополнение к этим законам, если необходимо, для системы в целом или отдельных ее частей формулируются определенные гипотезы о функционировании. Как правило, эти гипотезы правдоподобны в том смысле, что могут быть приведены некоторые теоретические доводы в пользу их принятия.

4. Гипотезы, так же как и законы, выражаются в форме определенных математических соотношений, которые объединяются в некоторое формальное описание модели.

На этом заканчивается процесс построения математической модели. Дальше следует процесс исследования этих соотношений с помощью аналитических и вычислительных методов, приводящий в конечном итоге к отысканию ответов на предъявляемые модели вопросы. Разрабатывается или используется созданный

482

ранее алгоритм для анализа этой модели. Если модель и алгоритм не слишком сложны, то может оказаться возможным аналитическое исследование модели. В противном случае составляется программа, реализующая этот алгоритм на ЭВМ. После выполнения расчетов по модели на ЭВМ их результаты обязательно сравниваются с фактической информацией из соответствующей предметной области. Это сравнение необходимо для того, чтобы убедиться в адекватности модели, в том, что модельным расчетам можно верить, их можно использовать.

Если модель хороша, то ответы, найденные с ее помощью, как правило, бывают весьма близки к ответам на те же вопросы о моделируемой системе. Более того, в этом случае зачастую с помощью модели удается ответить и На некоторые ранее не ставившиеся вопросы, расширить круг представлений о реальной системе. Если же модель плоха, т. е. недостаточно адекватно описывает систему с точки зрения задаваемых ей вопросов, то она подлежит дальнейшему улучшению или замене. Возможны также ошибки в алгоритме, в программе для ЭВМ. Такие повторные просмотры продолжаются до тех пор, пока результаты расчетов не удовлетворят исследователя. Теперь модель готова к использованию. Критерием адекватности модели служит практика, которая и определяет, когда может закончиться процесс улучшения модели. Итак, ни ЭВМ, ни математическая модель, ни алгоритм для ее исследования порознь не могут решить достаточно сложную исходную задачу. Но вместе они представляют ту силу, которая позволяет познавать окружающий мир, управлять им в интересах человечества.

Достоинствами метода математического моделирования является то, что модель представляет собой формализованную запись тех или иных законов природы, управляющих функционированием системы. Однако определенные трудности возникают при попытке построения математической модели очень сложной системы.

Существуют различные модели, используемые для описания сложных систем, такие как:

483

-

дескриптивные (описательные), описывающие происходящие в системе процессы;

- оптимизационные, управляющие процессом, т. е. принимающие те или иные решения;

- многокритериальные, рассматривающие систему по многим критериям;

- игровые, пригодные для исследования и рассматривающие конфликтные ситуации;

- имитационные, максимально использующие имеющуюся информацию о поведении системы.

В качестве примера рассмотрим применение математического моделирования в экологии.

19.4. Математическое моделирование в экологии

Тысячи путей ведут к заблуждению, к истине — только один.

Ж. Ж. Руссо

Для исследования биологических систем, таких как биоценозы, биогеоценозы, можно применять методы математического моделирования и, используя ЭВМ для анализа процессов в этих сложных системах, значительно продвинуть вперед науку о биосфере и экологии.

Например, один из вопросов, который очень часто возникает в современной экологии, состоит в следующем: как определить численность той или иной популяции через определенное время? Ответ на него представляет не только теоретический интерес, но и имеет большое практическое значение. Действительно, не зная этого, нельзя правильно планировать эксплуатацию различных возобновимых природных ресурсов — промысловых рыб, охотничьих угодий и т. п. Для решения этих вопросов можно применить методы математического моделирования.

По распределению и численности видов имеется огромная информация, но ее нужно перевести на математический язык. Естественно, что описание судьбы отдельной особи — задача без-

484

надежная, поэтому вводят макроскопические характеристики, описывающие популяцию. Допустим, в момент времени t₀ число особей в популяции в среднем составляет n₀. Если п — число особей, то изменение его со временем от числа их рождений g и числа смертей d можно записать в виде:

В простейшем случае

, где коэффициенты

не зависят от общей численности особей. Они могут определяться доступностью пищи, климатом, температурой и т. п. Если эти внешние условия поддерживаются постоянными, то уравнение

где

описывает растущую или убывающую по экспо-

ненте популяцию, т. е. стационарного решения нет, и говорят, что рост не зависит от числа особей. Значит, эти коэффициенты должны зависеть от числа особей. Наиболее важным из всех факторов, которые мы проигнорировали, вероятно, является истощение источников питания, который можно учесть введением в уравнение члена:

. Тогда получим следующее уравнение:

Оно и представляет собой математическую модель процесса изменения численности особей в популяции при котором предполагается, что пища поступает с постоянной скоростью.

Для определения численности особей в популяции в момент времени Т можно воспользоваться математической моделью. Для этого разделим переменные в уравнении и, интегрируя его при условии

находим следующее уравнение:

485

Отсюда можно определить число особей в популяции в момент Т:

Представим себе, что мы задались целью собирать урожаи с рассматриваемой популяции, т. е. изымать часть особей из экосистемы. Возникает вопрос: когда и сколько собирать урожая, чтобы суммарный урожай за время от t₀ до Т был максимален? Это более сложный вопрос, чем предыдущий. Не будем останавливаться на его точном решении, а отметим только, что математическая модель также дает возможность на него ответить. Качественный результат таков: пока число особей в популяции меньше некоторого критического значения, сбор урожая не производится вовсе, в дальнейшем же для достижения максимального суммарного урожая необходимо вести непрерывный сбор его.