Проекции точки (стр. 2 из 2)

Однако построение параллелепипеда позволяет определить не только точку А, но и все три ее ортогональные проекции.

Лучами, проецирующими точку на плоскости H, V, W являются те три ребра параллелепипеда, которые пересекаются в точке А.

Каждая из ортогональных проекций точки А, будучи расположенной на плоскости, определяется только двумя координатами.

Так, горизонтальная проекция a₁ определяется координатами х и у, фронтальная проекция a₂ — координатами х и z, профильная проекция a₃ — координатами у и z. Но две любые проекции определяются тремя координатами. Вот почему задание точки двумя проекциями равносильно заданию точки тремя координатами.

На эпюре (рисунок), где все плоскости проекций совмещены, проекции a₁ и a₂ окажутся на одном перпендикуляре к оси ОX, а проекции a₂ и a₃ — на одном перпендикуляре к оси OZ.

Что касается проекций a₁ и a₃ , то и они связаны прямыми a₁a_y и a₃a_y , перпендикулярными оси ОY. Но так как эта ось на эпюре занимает два положения, то отрезок a₁a_y не может быть продолжением отрезка a₃a_y .

Построение проекций точки А (5, 4, 6) на эпюре по заданным координатам выполняют в такой последовательности: прежде всего на оси абсцисс от начала координат откладывают отрезок Оa_x = х (в нашем случае х = 5), затем через точку a_x проводят перпендикуляр к оси ОX, на котором с учетом знаков откладываем отрезки a_xa₁ = у (получаем a₁ ) и a_xa₂ = z (получаем a₂ ). Остается построить профильную проекцию точки a₃ . Так как профильная и фронтальная проекции точки должны быть расположены на одном перпендикуляре к оси OZ , то через a₃ проводят прямую a₂a_z ^ OZ.

Наконец, возникает последний вопрос: на каком расстоянии от оси ОZ должна находиться a₃ ?

Рассматривая координатный параллелепипед (см. рисунок), ребра которого a_za₃ = Oa_y = a_xa₁ = y заключаем, что искомое расстояние a_za₃ равно у. Отрезок a_za₃ откладывают вправо от оси ОZ, если у>0, и влево, если у<0.

Проследим за тем, какие изменения произойдут на эпюре, когда точка начнет менять свое положение в пространстве.

Пусть, например, точка А (5, 4, 6) станет перемещаться по прямой, перпендикулярной плоскости V. При таком движении будет меняться только одна координата у, показывающая расстояние от точки до плоскости V. Постоянными будут оставаться координаты х и z , а проекция точки, определяемая этими координатами, т. е. a₂ не изменит своего положения.

Что касается проекций a₁ и a₃ , то первая начнет приближаться к оси ОX, вторая — к оси ОZ. На рисунках новому положению точки соответствуют обозначения a¹ (a₁¹ a₂¹ a₃¹ ). В тот момент, когда точка окажется на плоскости V (y = 0), две из трех проекций (a₁²и a₃²) будут лежать на осях.

Переместившись из I октанта во II, точка начнет удаляться от плоскости V, координата у станет отрицательной, ее абсолютная величина будет возрастать. Горизонтальная проекция этой точки, будучи расположенной на задней полуплоскости H, на эпюре окажется выше оси ОX, а профильная проекция, находясь на задней полуплоскости W, на эпюре будет слева от оси ОZ. Как всегда, отрезок a_z a₃³ = у.

На последующих эпюрах мы не станем обозначать буквами точки пересечения координатных осей с линиями проекционной связи. Это в какой-то мере упростит чертеж.

В дальнейшем встретятся эпюры и без координатных осей. Так поступают на практике при изображении предметов, когда существенно только само изображение предмета, а не его положение относительно плоскостей проекций.

Плоскости проекций в этом случае определены с точностью лишь до параллельного переноса (рисунок). Их обычно перемещают параллельно самим себе с таким расчетом, чтобы все точки предмета оказались над плоскостью H и перед плоскостью V. Так как положение оси X₁₂ оказывается неопределенным, то образование эпюра в этом случае не нужно связывать с вращением плоскостей вокруг координатной оси. При переходе к эпюру плоскости H и V совмещают так, чтобы разноименные проекции точек были расположены на вертикальных прямых.

Безосный эпюр точек А и В (рисунок) не определяет их положения в пространстве, но позволяет судить об их относительной ориентировке. Так, отрезок △x характеризует смещение точки А по отношению к точке В в направлении, параллельном плоскостям H и V. Иными словами, △x указывает, насколько точка А расположена левее точки В. Относительное смещение точки в направлении, перпендикулярном плоскости V, определяется отрезком △y, т. е. точка А в нашем примере ближе к наблюдателю, чем точка В, на расстояние, равное △y.

Наконец, отрезок △z показывает превышение точки А над точкой В.

Сторонники безосного изучения курса начертательной геометрии справедливо указывают, что при решении многих задач можно обходиться без осей координат. Однако полный отказ от них нельзя признать целесообразным. Начертательная геометрия призвана подготовить будущего инженера не только к грамотному выполнению чертежей, но и к решению различных технических задач, среди которых не последнее место занимают задачи пространственной статики и механики. А для этого необходимо воспитывать умение ориентировать тот или иной предмет относительно декартовых осей координат. Указанные навыки будут необходимы и при изучении таких разделов начертательной геометрии, как перспектива и аксонометрия. Поэтому на ряде эпюров этой книги мы сохраняем изображения координатных осей. Такие чертежи определяют не только форму предмета, но и его расположение относительно плоскостей проекций.