Наближене обчислення визначених інтегралів, що не беруться через елементарні функції /Укр./ (стр. 1 из 3)

Наближене обчислення визначених інтегралів, що не беруться через елементарні функції

Зміст

Вступ.

Формули прямокутників і трапеції.

Параболічне інтерполювання.

Дроблення проміжку.

Залишковий член формули прямокутників.

Залишковий член формули трапеції.

Залишковий член формули Сімпсона.

Додаток 1.

Додаток 2.

Висновки.

Література.

Вступ.

Багато задач науки і техніки приводять до проблеми обчислення інтегралів, але не всі інтеграли піддаються обчисленню. В даній роботі разглядається питання наближеного обчислення визначених інтегралів, що не беруться через елементарні функції. Зокрема, виводяться формули наближеного обчислення прямокутників, формула трапецій а також формула Сімпсона.

Формули прямокутників і трапеції.

Нехай треба обчислити значення визначеного інтегралу

, де є деяка заданая на проміжку неперервна функція. Існує багато прикладів обчислення подібних інтегралів, або за допомогою первістної, якщо вона виражається в скінченному вигляді, або ж – минуя первістну – за допомогою різних прийомів, як правило, штучних. Потрібно відмітити, однак, що всім цим вичерпується вузький клас интегралів; за його межами зазвичай вдаються до різних методів наближеного обчислення.

В даній роботі можно ознайомитися з основними із цих методів, в яких наближені формули для інтегралів складаються по деякому числу значень підінтегральної функції, обчислених для ряду (зазвичай рівновіддалених) значень незалежної змінної.

Перші формули, які сюди відносяться, простіші всього отримуються із геометричних міркувань. Витлумачуючи визначений інтеграл

як площу деякої фігури, яка обмежена кривою , ми і ставимо перед собою задачу знаходження цієї площі.

Перш за все, вдруге використовуючі ту думку, яка привела нас до самого поняття о визначеном інтегралі, можно розбити усю фігуру (мал. 1) на смуги, скажемо однієї і той же ширини

, а потім кожну смугу наближено замінити прямокутником, за висоту якого прийнята будь-яка із його ординат. Це приводе нас до формули

,

де

. Тут шукана площа криволінійної фігури замінюється площею деякої ступенчатої фігури, яка складається із прямокутників (або ж, можно сказати, що визначений інтеграл замінюється інтегральною сумою). Ця наближена формула і називається формулою прямокутників.

На практиці зазвичай беруть

якщо відповідну середню ординату позначити через , то формула перепишеться у вигляді

. (1)

Надалі, кажучи про формулу прямокутників, ми будемо мати на увазі якраз цю формулу.

Геометричні міркування природньо приводять і до другої, часто використовуваємій наближеній формулі. Замінивши дану криву вписаною в неї ламаною, з вершинами у точках

, где . Тоді наша криволінійна фігура заміниться іншою, яка складається із ряду трапецій (рис2.). Якщо, як і раніш рахувати, що
проміжок разбитий на рівні частини, то площі цих трапецій будуть

.

Мал. 2

Додаючи, прийдемо до нової наближеної формули

. (2)

Це так звана формула трапецій.

Можно показати, що при зростанні

до нескінченності похибка формули прямокутників і формули трапецій нескінченно зменьшується. Таким чином, при достатньо великому обидві ці формули відтворюють шукане значення з довільним рівнем точності.

Параболічне інтерполювання.

Для наближеного обчислення інтеграла

можно спробувати замінити функцію «близьким» до неї многочленом

(3)

і покласти

Можно сказати, що тут – при обрахуванні площі – дана «крива»

замінюється на «параболу - го порядку» (3), в зв'язку з чим цем процес отримав назву параболічного интерполювання.

Сам вибір інтерполюючуго многочлена

частіше всього виконують наступним чином. У проміжку беруть значень незалежної змінної і підбирають многочлен так, щоб при усіх взятих значеннях його значення співпадало зі значенням функції . Цією умовою, як ми знаємо, многочлен визначається однозначно, і його вираз даеться інтерполяціонною формулою Лагранжа:

При інтерполюванні виходить лінійний, відносно значень вираз, коефіцієнти якого вже не залежать від цих значень. Вирахувавши коефіціенти раз і назавжди, можно їх використовувати для будь-якої функції в даному проміжку .

В найпростішому випадку, при

, функція просто замінюється сталою , де – будь-яка точка у проміжку , скажемо, середня: . Тоді наближено

(4)

Геометрично – площа криволінійної фігури замінюється тут площадью прямокутника з висотою, яка рівна середній її ординаті.

При

функція замінюється лінійною функцією , яка має однакові з нею значення при и . Якщо взяти , , то

(5)

і, як легко обчислити,

Таким чином, тут ми наближено вважаємо

На цей раз площа криволінійної фігури замінюється площею трапеції: замість кривої береться хорда, яка зполучає її кінці.

Менш тривіальний результат отримаємо взявши

. Якщо покласти , , , то інтерполяційний многочлен буде мати вигляд