Наближене обчислення визначених інтегралів, що не беруться через елементарні функції /Укр./ (стр. 2 из 3)
(7)За допомогою легкого обчислення вираховуємо
і, аналогічно
, 
.Таким чином, приходимо до наближеної формули
.Тут площа фігури під даною кривою замінюється площею фігури, яка обмежена звичайною параболою (з вертикальною віссю), що проходить через крайні і середню точки кривої.
Збільшуя степінь
інтерполяційного многочлена, тобто проводя параболу (3) через все більше число даної кривої, можно розраховувати отримати більшу точність. Но більш практичним виявляється інший шлях, якій грунтується на поєднанні ідеї параболічного інтерполювання із ідеєю дроблення. При обчисленні інтегралу
можно зроботи так. Розіб'ємо спочатку проміжок 
на деяке число, 
, рівних проміжків 
,в зв'язку з чим, шуканий інтеграл постане у вигляді суми
(9)Тепер же до кожного із цих проміжків застосуємо параболічне інтерполювання, тобто станемо обчислювати інтеграли (9) по одній із наближених формул – (4), (6), (8).
Легко збагнути, що виходячи із формул (4) або (6), ми таким шляхом знов отримаємо вже відомі нам формули прямокутників і трапецій, (1) и (2).
Застосуємо тепер до інтегралів (9) формулу (8), при цьому для стислості положимо, як і вище,
, 
, 
.Ми отримаємо
, 
,. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
.Зрештою, додаючи почленно ці равенства, прийдемо до формули
(10)Вона носит назву формули Сімпсона (Th. Simpson); цією формулою користуються для наближенного обчислення інтегралів частіші, аніж формулами прямокутников і трапецій, бо она – при тих же затратах – дає зазвичай більш точний результат.
Залишковий член формули прямокутників.
Почнемо з формули (4). Припустимо, що у проміжку
функція 
має неперервні похідні перших двох порядків. Тогді, розкладая (по формулі Тейлора) за степенями двочлена 
аж до його квадрату, будемо мати для всіх значень 
в 
,
де
міститься між та 
і залежить від .Якщо проінтегрувати цю рівність у проміжку від
до 
, то другий член зправа зникне, бо 
(11)Таким чином, отримаємо
,так, що залишковий член формули (4), який поновлює її точність має вигляд
.Позначив через
і 
, відповідно найменьше та найбільше значення неперервної функції 
у проміжку і коростуючись тим, що другий множник підінтегрального виразу на змінює знака, за узагальненою теоремою про середне можемо написати 
,де
міститься між точками и . По відомій властивості неперервної функції, знайдеться в така точка 
, що 
, і остаточно 
. (12)Якщо зараз розділити проміжок
на рівних частин, то для кожного часткового проміжку 
будемо мати точную формулу 
.Додавнши ці равенства (при
) почленно отримаємо при звичайних скорочених позначеннях 
, де вираз
і є залишковий член формули прямокутників (1). Так як вираз
також знаходиться між
і , то і він представляє одне із значень функції .Тому остаточно маємо
(13).При зростанні
цей додатковий член спадає приблизно як 
.[1]Залишковий член формули трапеції.
Займемось тепер формулою (6) при попередніх здогатках відносно функції
. Скориставшись інтерполяційною формулою Лагранжа із залишковим членом можемо написати 
.Інтегруя цю формули від
до , знайдемо 
, 
.Розмірковуючи, як і вище, і користуючись тим, що другий множник підінтегральної функції і тут не змінює знака, знайдемо
.