Математичнi моделi iнфляцii /Укр./ (стр. 4 из 8)

Припустимо, що

задає траекторію зайнятості, яка вважається оптимальною. Оскількі пропозиція робочої сили відповідає траекторії оптимальний пропорційний рівень зайнятості визначається відношенням . Це відношення, яке не перевищує одиницю відображає оптимальний баланс між безробіттям та інфляцією. Рівняння (2.1.1) базується на припущенні, що при оптимальному рівні зайнятості пропозиція грошей постійна і рівна , в противному випадку пропорційне перевищення над є зростаючою функцією пропорційного перевищення над . Тепер замість рівняння (1.10) використовується рівняння (2.1.1), так, що модель включає рівняння (1.1) — (1.9) і (2.1.1).

З (1.7), (1.8) і (2.1.1) отримаємо

(2.1.2)

Тоді з (1.12) та (2.1.2) отримаємо

(2.1.3)

що разом з (1.4) та (1.5) дає

(2.1.4)

Одночасно також маємо

	(2.1.5)
	(2.1.6)

що аналогічно відповідно (1.16) та (1.17).

Траекторія зміни змінних

та визначається початковими значеннями змінних і системою рівнянь (2.1.4) — (2.1.6). Частинний розв’язок цієї системи має вигляд

	(2.1.7)
	(2.1.8)
	(2.1.9)

де

	(2.1.10)
	(2.1.11)
	(2.1.12)

Із (1.4), (2.1.8), (2.1.9) та (2.1.12) випливає,що рівноважна траекторія росту зайнятості визначається рівнянням

(2.1.13)

де

Таким чином, ця траекторія не пов’язана з оптимальною. Дійсно, порівняння (1.28) з (2.1.13) показує, що рівноважна траекторія росту зайнятості співпадає з траекторією, що відповідає постійній пропозиції грошей. Це неприйнятний наслідок політики, що описується рівнянням (2.1.1). Розглянемо тепер вплив цієї політики на стійкість системи.

З рівнянь (2.1.4) — (2.1.6) та (2.1.10) — (2.1.13) маємо

	(2.1.14)
	(2.1.15)
	(2.1.16)

де

Точні траекторії зміни змінних

визначаються початковими значеннями цих змінних і системою рівнянь (2.1.4) — (2.1.6) та (2.1.10) — (2.1.13), а наближені траекторії – тими ж початковими значеннями і системою лінійних рівнянь, які включають (2.1.14), (2.1.15) та

(2.1.17)

Характеристичними коренями матриці коефіцієнтів останньої системи є корені рівняння

,

(2.1.18)

де

Зауважимо, що

, , і при умові, що частинна похідна . Отже, хоч політика задана рівнянням (2.1.1) не впливає на рівноважну траекторію зайнятості (на відміну від політики, що передбачає постійну пропозицію грошей), вона може справляти стабілізуючу дію.

Припустимо, наприклад, що

; ; ; ; ; ; ; ; .При цих умовах і при корені рівняння (2.1.18) рівні ; , а при ці корені рівні ; ; . Тобто у даному випадку вплив грошової політики приводить до поступової ліквідації ціклу і більш швидкої збіжності до довгострокового тренду.

Розглянемо тепер політику, яка визначається рівнянням

(2.1.19)

З цього рівняння випливає, що при оптимальному рівні зайнятості пропозиція грошей постійна. В протилежному випадку пропорційний темп росту пропозиції грошей, є зростаючою функцією пропорціонального перевищення

над . Тепер модель описується рівняннями (1.1), (1.9) та (2.1.19).

З (1.7), (1.8) та (1.12) маємо

(2.1.20)

що у сукупності з (1.4) та (1.5) дає

(2.1.21)

Далі, з (1.4) та (1.19) маємо

(2.1.22)

що разом з (2.1.5) дає

(2.1.23)

Траекторії зміни

та визначаються початковими значеннями змінних та системою рівнянь, що включає (2.1.6), (2.1.21) та (2.1.23). (Власні траекторії та можна отримати, використовуючи (2.1.5) та (2.1.22).) Частинний розв’язок системи має вигляд