Управление инвестиционными рисками (стр. 4 из 16)
2. Оценка инвестиционных рисков
2.1. Классические модели оценки риска
Рассмотрим один из методов определения риска портфеля на примере. Пусть в состав портфеля входят государственные ценные бумаги, а именно облигации федерального займа. ОФЗ 27018 с погашением в сентябре 2005 года составляет в структуре портфеля 25% (Х1=0,25), ОФЗ 45001 с погашением в ноябре 2006 года – 45% (Х2=0,45), ОФЗ 46001 с погашением в сентябре 2008 года – 30% (Х3=0,3) .
Рассмотрим как вычисляется стандартное отклонение портфеля. Для портфеля, состоящего из трех ценных бумаг (ОФЗ 27018, ОФЗ 45001, ОФЗ 46001), формула выглядит следующим образом:
s
= [ 
] 
, (2.1)где sij обозначает ковариацию доходностей ценных бумаг i и j.
Ковариация - это статистическая мера взаимодействия двух случайных переменных. То есть это мера того, насколько две случайные переменные, такие, например, как доходности двух ценных бумаг / и/, зависят друг от друга. Положительное значение ковариации показывает, что доходности этих ценных бумаг имеют тенденцию изменяться в одну сторону, например лучшая, чем ожидаемая, доходность одной из ценных бумаг должна, вероятно, повлечь за собой лучшую, чем ожидаемая, доходность другой ценной бумаги. Отрицательная ковариация показывает, что доходности имеют тенденцию компенсировать друг друга, например лучшая, чем ожидаемая, доходность одной ценной бумаги сопровождается, как правило, худшей, чем ожидаемая, доходностью другой ценной бумаги. Относительно небольшое или нулевое значение ковариации показывает, что связь между доходностью этих ценных бумаг слаба либо отсутствует вообще.
Очень близкой к ковариации является статистическая мера, известная как корреляция. На самом деле, ковариация двух случайных переменных равна корреляции между ними, умноженной на произведение их стандартных отклонений:
s
= p 
s 
s 
, ( 2.2 )где pij(греческая буква р) обозначает коэффициент корреляциимежду доходностью на ценную бумагу i и доходностью на ценную бумагу j. Коэффициент корреляции нормирует ковариацию для облегчения сравнения с другими парами случайных переменных.
Пусть ОФЗ 27018 является ценной бумагой под номером один, ОФЗ 45001 – под номером два и ОФЗ 46001 – под номером три.
Коэффициент корреляции между первой и второй ценной бумагой составил р12 = 0,994, р13 = 0,990, р23 = 0,999.
Коэффициент корреляции всегда лежит в интервале между -1 и +1. Если он равен —1, то это означает полную отрицательную корреляцию, если +1 — полную положительную корреляцию. В большинстве случаев он находится между этими двумя экстремальными значениями. Все три бумаги имеют достаточно высокий коэффициент корреляции, близкий единице. Данный факт дает основания предположить, что все три бумаги практически одинаково реагируют на изменение рыночной ситуации.
Чтобы найти ковариации ценных бумаг, нужно рассчитать их стандартные отклонения. При расчетах используется база данных с января по май 2003 года. Проведя расчеты получили следующие результаты:s1 = 3,72, s2 = 4,34, s3 = 6,27. Отсюда можно сделать вывод, что дюрация облигации прямо пропорциональна стандартному отклонению, т.е. облигация, обладающая большей дюрацией, имеет больший риск.
Зная стандартные отклонения и коэффициенты корреляции ценных бумаг i и j, можем найти их ковариацию. Так расчеты показали, что s12 = 15,88, s13 = 22,83, s23 = 25,35. Найдем дисперсию для каждой ценной бумаги, которая понадобится для составления ковариационоой матрицы. Дисперсия для первой ценной бумаги равна s11 = 1 * s1 * s1 = s1
= 13,69. Аналогично, s22 = 17,58, s33 = 35,88. В результате получаем на выходе следующую ковариационную матрицу.Таблица 2.1.1.
Ковариационная матрица
| Наименование ценной бумаги | 27018 | 45001 | 46001 |
| 27018 | 13,69 | 15,88 | 22,83 |
| 45001 | 15,88 | 17,58 | 25,35 |
| 46001 | 22,83 | 25,35 | 35,88 |
Все необходимое для расчета риска портфеля мы получили. Находим стандартное отклонение портфеля:sр = [Х1Х1s11 + Х1Х2s12 + Х1Х2s13 + Х2Х1s21 + Х2Х2s22 + Х2Х3s23 + Х2Х1s31 + Х3Х2s32 + Х3Х3s33]
= [(0,25*0,25*13,69) + (0,25*0,45*15,88) + (0,25*0,3*22,83) + (0,45*0,25*15,88) + (0,45*0,45*17,58) + (0,45*0,3*25,35) + (0,3*0,25*22,83) + (0,3*0,45*25,35) + 0,3*0,3*35,88)] = [21,49] = 4,64%.В портфельной теории под риском понимается возможность отклонения, как положительного, так и отрицательного, фактической доходности актива от его ожидаемой доходности. Иными словами, риск здесь рассматривается как неопределенность результата инвестирования, а не только как возможность понести убытки или недополучить прибыль.Численно риск оценивается по величине среднего квадратического (стандартного) отклонения доходности актива:
(2.3)где
- ожидаемая доходность инвестиционного актива; ri - доходности инвестиционного актива при различных вариантах; pi - вероятности соответствующих вариантов; n - количество вариантов.Ожидаемая доходность инвестиционного актива
находится по следующей формуле: 
(2.4)где ri- доходности инвестиционного актива при различных вариантах; pi- вероятности соответствующих вариантов; n - количество вариантов.
Также измерителем риска является фактора «бета». Коэффициент «бета» бумаги показывает ее чувствительность к колебаниям рынка в будущем. Для оценки «беты» должны быть учтены всевозможные источники подобных колебаний. Затем необходимо оценить, как отреагирует цена бумаги на каждое из этих изменений, а также вероятность такого изменения.
«Бету» бумаги можно интерпретировать как наклон графика рыночной модели. Если этот коэффициент был постоянным от периода к периоду, то «историческую бету» (historicalbeta) бумаги можно оценить путем сопоставления прошлых данных о соотношении доходности рассматриваемой бумаги и доходности рынка. Статистическая процедура для получения таких апостериорных (прошлых) значений коэффициента «бета» называется простой линейной регрессией (simplelinearregression), или методом наименьших квадратов. Как становится ясно, истинное значение коэффициента «бета» ценной бумаги невозможно установить, можно лишь оценить это значение.
Модели, рассматриваемые в финансовом анализе, связывают случайную величину r с величинами, которые объективно характеризуют финансовый рынок в целом. Такие величины называются факторами. В зависимости от постановки задачи факторы могут считаться как случайными, так и детерминированными, т.е. точно известными величинами.
В самом простом случае выделяется один фактор. Тогда статистическая модель имеет вид:
. (2.5)Здесь
и 
- постоянные (неизвестные параметры), 
- случайная величина, удовлетворяющая условию: 
, где 
- условное математическое ожидание случайной величины относительно F. Из этого предположения следует, что и безусловное математическое ожидание величины также равно нулю. Коэффициент показывает чувствительность доходности ценной бумаги к фактору F. Коэффициент называют сдвигом.Одна из самых распространенных моделей использует в качестве фактора F доходность рыночного индекса.
Рыночная модель (marketmode) – это один из путей отражения взаимосвязи доходности акции за определенный период с доходностью за тот же период акции на рыночный индекс:
ri = aiI + biI rI +eiI, ( 2.6)
где ri - доходность ценной бумаги i за данный период; rI- доходность на рыночный индекс I за этот же период; aiI- коэффициент смещения; biI- коэффициент наклона; eiI- случайная погрешность.
Как видно из выражения, при условии положительности коэффициента наклона, чем выше доходность на рыночный индекс, тем выше доходность ценной бумаги. “Бета” коэффициент исчисляется следующим образом:
(2.7)где siI, обозначает ковариацию между доходностью акции i и доходностью на рыночный индекс, а sI2 обозначает дисперсию (квадрат стандартного отклонения) доходности на индекс.