Закон постоянства гранных углов Стенона впоследствии дал начало учению о морфологической симметрии кристаллов — основе учения о симметрии любых фигур с особенной точкой. Напомним слова А.В Шубникова об особенных элементах фигуры: «Точка (прямая, плоскость) фигуры (или ее части) называется особенной, если она совмещается с собою всеми операциями фигуры (или ее части). Особенные геометрические элементы существуют в фигурах в единственном числе». Центр сферы, ось конуса, поперечная плоскость цилиндра—соответственно особенные точка, линия, плоскость; трехмерное пространство в классическом учении о пространственной симметрии кристаллов — также особенный геометрический элемент.
Существует несколько наименований фигур с особенными точками. Чаще всего их называют конечными или строже точечными фигурами, реже — фигурами симметрии нулевого измерения. Последние могут быть разделены на две категории: фигуры без особенных плоскостей и фигуры с особенными плоскостями. Все платоновы тела и шар принадлежат к фигурам первой категории. К фигурам второй категории принадлежат так называемые розетки (одно- и двусторонние). Примеры односторонних розеток — фигуры пуговицы, цветка растения, насекомого, детской бумажной вертушки, фигуры травления на гранях кристалла; примеры двусторонних розеток - решетки ворот, колеса, кольца, платки с одинаковым рисунком с обеих сторон, буквы без лица и изнанки (П, Н, Ж ), снежинки, фигуры млекопитающих, если смотреть на них сбоку (при другой ориентации они предстанут уже в виде односторонних розеток). Таким образом, и у тех и у других розеток имеется одна особенная плоскость с особенной точкой в ней. При этом у односторонних розеток эта плоскость полярна, т. е. ее «лицо» отлично от «изнанки», а у двусторонних она не полярна и может являться поэтому плоскостью симметрии.
По-видимому, будет правильно связать развитие учения о симметрии нулевого измерения с построениями древними математиками таких типичных конечных фигур, как многоугольники и многогранники. Особое место здесь должно быть отведено пяти правильным платоновым многогранникам, которые Г. Вейль удач
но назвал древним эквивалентом некоторых современных классов групп симметрии конечных фигур.
Далее в изучении симметрии кристаллов наблюдается досадный более чем полуторатысячелетний перерыв. Возобновившийся после столь длительного застоя ход исследований в сухом перечне дат и фамилий выглядит так.
1611 г. — И. Кеплер указывает на сохранение угла (в 60° между отдельными лучами у снежинок и гениально объясняет это их внутренним сложением из шарообразных частиц. 1669 г. — Н. Стенсен открыл закон постоянства углов у кристаллов кварца и гематита.
1670 г. — Э. Бартолин (1625—1698) то же свойство указал для кальцита; 1695 г. — А. Левенгук (1632—1723) — для гипса (малых и больших кристаллов); 1749 г. — М. В. Ломоносов (1711—1765) — для кристаллов селитры, пирита, алмаза и других, положив тем самым начало русской кристаллографии.
Лишьь в 1783 г. Роме де Лиль (1736—1790) распространил закон постоянства углов на все кристаллы, проведя десятки тысяч измерении на большом числе объектов. Результаты измерений — итог всей жизни — он систематически докладывал ученым в Париже. Эти сообщения и были первыми лекциями по кристаллографии. Закон постоянства углов формулируется им в работе «Кристаллография» так: «Грани кристалла могут изменяться по своей форме и относительным размерам,но их взаимные наклоны постоянны и неизменны для данного рода кристаллов» .
В 1784—1801 гг. Р. Ж. Гаюи (1743—1822), тщательно математически переработав данные Роме де Лиля, установил другой важнейший закон геометрической кристаллографии — закон целых чисел (рациональных отношений параметров), с которым непосредственно связан закон целых чисел в химии Дальтона (1808 г.), бывавшего в то время в Париже и слушавшего лекции Гаюи. Закон Гаюи формулируется следующим образом: положение всякой грани в пространстве можно определить тремя целыми числами, если за координатные оси взяты направления трех ребер кристалла, а за единицу измерения — отрезки, отсекаемые на этих осях гранью кристалла, принятой за единичную. X. Венссом (1780—1856) в 1815 г. было предложено деление кристаллов на сингонии (сейчас они классифицируются на 7 сингоний, 3 категории). В итоге всех исследований были сделаны два великих открытия: открытие полных групп симметрии кристаллов — морфологической (1830 г.) и через 60 лет структурной (1890 г.). Первое открытие на основе закона целых чисел сделал в 1830 г. малоизвестный при жизни марбургский профессор И. Ф. Гессель (1796—1872), геометрически доказавший, что внешняя форма кристаллов описывается лишь 32 видами симметрии. Одновременно он разработал полную теорию симметрии конечных фигур и вывел бесконечное множество видов их симметрии. Однако эта работа осталась незамеченной. Те же 32 вида вновь, хотя и иным путем, открыл уже в 1867 т. русский ученый Л. В. Гадолин (1828—1892) . Замечательно, что при жизни последнего эмпирически было известно лишь 20 видов симметрии кристаллов. Результаты Гесселя—Гадолина привели к выводу о том, что фигуры симметрии нулевого измерения полностью описываются бесконечным числом групп (видов). Увеличение числа групп симметрии с 32 до ∞ объясняется просто: за счет учета и запрещенных для кристаллов осей симметрии, т. е. 5, 7, 8, 9, 10,... и т. д., кроме ∞ , порядков. Причина этого запрета стала понятна лишь после раскрытия внутреннего строения кристаллов. Она связана с решетчатым расположением атомов, ионов и молекул, в трехмерном пространстве (О. Бравэ и др.).
История второго величайшего открытия связана с постепенной кристаллизацией понятия «кристаллическая решетка». Эта идея витала в воздухе. На нее исходя из разных соображений указывали многие.
Например, И. Кеплер приписывает кристалликам снежинок структуру, получающуюся при плотной укладке шариков одного диаметра. Аналогичные воззрения на структуру кристаллов каменной соли, квасцов и других веществ высказывались и Р. Гуком (1635—1703) в его «Микрографии» (Лондон, 1665). Однако Гук ограничивался рассмотрением расположения шариков лишь на плоскости. Далее, И. Ньютон (1643—1724) в «Оптике» (1675 г.) также предполагал, что при образовании кристаллов частицы устанавливаются в строй и ряды, поворачивая свои одинаковые стороны в одинаковом направлении и застывая в правильных фигурах. Аналогичные мысли высказывали Д. Гульельмини, X. Гюйгенс (1629—1695), М. Ломоносов и многие другие.
Пытаясь объяснить закон целых чисел, Гаюи на углах кристаллической решетки ставил многогранные молекулы; лишь в 1813 г. У. X. Волластон (1766— 1828) заменил их шарами или просто математическими точками: тем самым идея кристаллической решетки приняла вполне современный вид. Основываясь на достигнутом, О. Бравэ в 1848 г. устанавливает, что всех типов кристаллических решеток лишь 14 . Почва для вывода всех пространственных групп симмитрии кристаллов уже как бесконечных фигур была готова.
Не позднее 1869 г. К. Жордан (1838—1922) в «Мемуаре о группах движений» находит 65 из них, содержащих только собственные (незеркальные) движения; Л. Зонке (1842—1897) применил эти группы в 1879 г. к кристаллографии. Вывод всех 230 пространственных групп симметрии был дан почти одновременно и независимо друг от друга Е. С. Федоровым в России (1890 г.) геометрически и А. Шенфлисом (1853—1928) в Германии (1891 г.) алгебраически на основе теории групп.
Открытия Федорова—Шонфлиса завершают целую эпоху в изучении симметрии в природе, и прежде всего кристаллов. Они позволили дать глубокое, исторически первое — кристаллографическое — учение о симметрии, оказавшееся частным случаем второго, геометрического, а затем и более фундаментального, одновременно и самого абстрактного (динамического) понимания симметрии.
2. 2.2.Симметрия кристаллов.
Правильную, симметричную форму кристаллов издавна объясняли симметричным расположением атомов. Само существование атомов было еще гипотезой, но внешнее проявление стройного порядка заставляло предполагать внутреннюю причину. Быть может, правильные пирамиды, сложенные из пушечных ядер, которые когда-то делались круглыми, наводили на мысль, что огранка кристаллов обязана способсти атомов самостоятельно укладываться в стройном порядке. Слово атом значит неделимый, атомы считали такими же круглыми, гладкими и твердыми, как ядра.
Как ни примитивен такой взгляд с нашей нынешней точки зрения, он оказался необычайно плодотворным в науке о кристаллах, где и сейчас есть понятие плотной упаковки, такой, как в пирамиде, сложенной из шаров.
Давнее, чисто умозрительное учение о строении кристаллов принесло большую пользу еще и потому, что позволило правильно подойти к вопросу о возможных видах симметрии кристаллов.
Симметрия кристаллов-свойство кристаллов совмещаться с собой при поворотах, отражениях, параллельных переносах либо при части или комбинации этих операций. Симметрия внешней формы кристалла определяется симметрией его атомного строения, которая обуславливает также и симметрию физических свойств кристалла.
В наиболее общей формулировке симметрия- неизменность (инвариантность) объектов и законов при некоторых преобразованиях описывающих их переменных. Кристаллы – объекты в трехмерном пространстве, поэтому классическая теория симметрии кристаллов- теория симметричных преобразований в себя трехмерного пространства с учетом того,что внутренняя атомная структура кристаллов дискретная, трехмерно- периодическая. При преобразованиях симметрии пространство не деформируется, а преобразуется как жесткое целое. Такие преобразования называются ортогональными или изометрическими. После преобразования симметрии части объекта, находившиеся в одном месте, совпадают с частями, находившимися в другом месте. Это означает, что в симметричном объекте есть равные части (совместимые или зеркальные).