Найдем положение новых осей (x, ct) на псевдоевклидовой плоскости. Отложим координата x, ct на прямоугольных осях. (Рис. 9). Точка x = 0, сопадающая с началом координат системы S, движется в системе S со скоростью V. Ее мировая линия будет представлять собой ось времени ct системы S. Эта ось будет наклонена к оси ct на угол = arctg (V/c). Ось x новой системы можно определить условием ct = 0. Но тогда в старой системе координат это будет прямая ct = x, проходящая через начало координат и составляющая с осью x тот же угол = arctg (V/c).
Приходим к выводу, что новая система координат косоугольна! Если попытаться найти связь между отрезками x, ct и x, ct, посто проектируя отрезки (так как это делается в эвклидовом случае), то получится неправильный результат. Преобразования Лоренца не только поворачивают оси, но и искажают масштабы координат по осям!
Итак, основной результат состоит в том, что преобразования Лоренца можно интерпретировать, как псевдоевклидово вращение системы координат в пространстве Минковского.
Рис. 9
С помощью Рис. 9 можно дать геометрическую интерпретацию различным следствиям из преобразований Лоренца. Вспомним, например, относительность одновременности. В системе S линии равного времени - прямые параллельные оси 0x. В системе S - это прямые, параллельные 0x, не совпадающие с линиями равного времени в системе S. Поэтому события, одновременные в S, не будут в общем случае одновременными в S. Например, между одновременными в системе S событиями A и B в системе S пройдет промежуток времени t = AB/c, причем событие B произойдет раньше.
Как ясно из вышеизложенного, на псевдоевклидовой плоскости квадрат интервала s212 может быть как положительным, так и равным нулю и отрицательным.
Если s212 0, его называют времениподобным, при s212 0 - пространственноподобным, при s212 = 0 - светоподобным или нулевым.
Характер интервала тесно связан c причинностью - он определяет возможность причинной связи событий, происходящих в пространственно - временных точках 1 и 2. Если s212 0, то из точки 1 можно послать сигнал со скоростью
, который вызовет событие 2. В случае s
212 = 0 это также возможно, но сигнал должен посылаться с предельной скоростью c. События, разделенные пространственноподобным интервалом, не могут быть причинно обусловлены, т.к. сигналы не могут распространяться со скоростью
.
2.7 Замедление времени
Рассмотрим часы, покоящиеся в начале координат движущейся системы (x = 0), которые перемещаются относительно лабораторной системы координат со скоростью V, так что их координата x = V t пропорциональна времени, определяемому неподвижными часами. Инвариантность интервала позволяет, тогда, определить показания движущихся часов:
(17) | Время, измеряемое часами, движущимися относительно лабораторной системы отсчета, замедляется.
Как ни покажется странным, но тот же вывод справедлив относительно замедления темпа хода часов в лабораторной системе координат с точки зрения наблюдателя из движущейся системы отсчета, т.е. "движущиеся" и "покоящиеся" часы взаимно отстают друг от друга.
С последним замечанием тесно связан широко известный парадокс близнецов (см. ниже раздел "Задачи").
Замедление хода времени в движущейся системе отсчета было экспериментально подтверждено американскими физиками Б. Росси и Д.Х. Холлом в 1941 году. Они наблюдали увеличение среднего времени жизни мюонов, двигавшихся со скоростью v c, в 6 8 раз по сравнению с временем жизни неподвижных мюонов.
Особая ценность этого эксперимента состоит в том, что процесс распада мюонов определяется слабым взаимодействием, в то время как СТО была построена для описания систем с электромагнитным взаимодействием.
2.8 Лоренцево сокращение длины
Стержень, расположенный вдоль оси 0X движущейся системы отсчета и покоящийся в ней, имеет длину l0. Если один из концов стержня (для простоты) сосвпадает с началом координат этой системы, то в момент t = 0 по часам лабораторной системы отсчета координаты концов стержня определяются преобразованием Лоренца:
(18) | Длина движущегося стержня в лабораторной системе отсчета уменьшается в направлении движения. Это изменение длины называется сокращением Лоренца - Фитцджеральда.
Поскольку поперечные размеры тела не изменяются, то легко видеть, что объем тела также уменьшается:
(19) | 3 Динамика специальной теории относительности
3.1 Энергия и импульс частицы
Под массой частицы m будем понимать ее массу, измеряемую в системе покоя частицы - массу покоя.
Релятивистским импульсом частицы массы m, движущейся в выбранной инерциальной системе отсчета со скоростью
, называется векторная величина 
, определяемая формулой . | | (20) | Релятивистский импульс имеет ту же размерность, что и импульс в классической механике. При v/c 0,
m (с точностью до линейных по v/c слагаемых).Энергией частицы в релятивистской физике называется величина E, определяемая выражением
. | | (21) | Энергия имеет ту же размерность и измеряется в тех же единицах, что и энергия в ньютоновской механике.
Энергия частицы в той системе отсчета, в которой она покоится, называется ее энергией покоя E0:
При = v/c 0 релятивистское выражение для энергии частицы может быть записано в виде
Второе слагаемое совпадает с кинетической энергией частицы в классической теории. Разность E - mc2 = T называют кинетической энергией релятивистской частицы.
Из формул (20) и (21) находим полезную формулу для скорости частицы:
E
. | | (22) | 3.2 Релятивистские преобразования энергии и импульса
Рассмотрим вновь две инерциальные системы отсчета, движущиеся друг относительно друга со скоростью V в направлении оси x.
Закон преобразования для величин (E,
) и (E, ), измеряемых в системах S и S, имеет форму преобразования (23): , px¢ = | px - E V/c2 | , py¢ = py, pz¢ = pz. | | (23) | Таким образом,энергия и импульс частицы зависят от выбора системы отсчета, однако существует величина, которая имеет абсолютный смысл. Из формул (23) следует, что
из которого следует, что масса частицы одинакова во всех системах отсчета и, следовательно, является релятивистским инвариантом.
Рис. 10
Используя последнее выражение можно легко получить соотношение, связывающее энергию и импульс в релятивистской физике:
.
Эта зависимость энергии от импульса изображена на Рис. 10. При малых значениях импульса E = m c2 + p2/2 m, а при достаточно больших импульсах E = p c.
Иногда формулу (21), записывают в виде E = m(v) c2, вводя "релятивистскую массу" частицы, зависящую от скорости: