Расчёт статически определимых и неопределимых систем матричным способом в среде MATLAB (стр. 2 из 6)

1.3. Матричная форма расчета статически неопределимых рам методом сил.

Рассмотрим основные приемы матричной формы расчета статически неопределимых рам методом сил на примере простой рамы (рис.2).

Для определения коэффициентов и свободных членов канонических уравнений запишем правило Верещагина в матричной форме:

;

;

.

Определение коэффициентов δ₁₁, δ₁₂, δ₂₂ можно записать одной матричной записью

.

В сокращенной форме эта запись имеет вид

δ_ik=М_ik^Т DM_ik,

где δ_ik-матрица коэффициентов канонических уравнений; М_ik^Т- транспонированная матрица моментов от единичных сил.

Для определения вектора грузовых перемещений воспользуемся формулой (2). Имеем

.

Систему канонических уравнений также можно записать в матричной форме

,

где {X_i} - вектор искомых усилий.

Это уравнение в матричной форме решается путем обращения матрицы δ_ik, т. е.

,

где δ_ik^-1 – обратная матрица по отношению к матрице δ_ik.

В нашем случае

,

а обратная матрица имеет вид

.

Решение системы канонических уравнений дает

.

Окончательные значения внутренних силовых факторов определяются по формулам

где

- соответственно значения изгибающих моментов, поперечных и продольных сил в основной системе от заданной нагрузки; - соответственно значения изгибающих моментов, поперечных и продольных сил от единичных нагрузок, приложенных в направлениях действия лишних неизвестных.

В матричной форме их можно записать так:

где

- векторы внутренних сил в основной системе от заданных нагрузок; - матрицы усилий от единичных нагрузок, приложенных в направлении действия лишних неизвестных; {X_i} – вектор искомых усилий.

Матричная формула полного решения задачи методом сил имеет следующий вид:

.

2.1.

Аналитическое решение