Математическое моделирование при активном эксперименте (стр. 4 из 6)

1. Состояние испарителя - "чистое", т.е. порошок для напыления сыпется в стакан испарителя впервые после промывки его сторон, или "грязное", т.е. порошок сыпется в испаритель, в котором осталось некоторое его количество от предыдущего цикла напыления; обозначим этот фактор как x 1 , причем величина x 1 = +1соответствует "чистому", а величина x 1 = -1 соответствует "грязному" состоянию испарителя;
2. Температура подогрева подложки x 2 , причем x 2 = +1 соответствует верхней допустимой по техпроцессу температуре, а x 2 = -1 - нижней;
3. Температура испарителя x 3 , причем x 3 = +1 соответствует верхней допустимой по техпроцессу температуре, а х 3 = -1 - нижней.

План эксперимента, его пятикратная реализация с учетом рандомизации и первичная обработка результатов представлена в таблице.

номер строки g	Циклы					z 0	z 1	z 2	z 3	z 4	z 5	z 6	z 7	Результаты, кOм					Обработка		Адекватность
																			g	S 2 g	g	( g - g ) 2
	k 1	k 2	k 3	k 4	k 5	x 0	x 1	x 2	x 3	x 1 x 2	x 1 x 3	x 2x 3	x 1x 2x 3	Y g1	Y g2	Y g3	Y g4	Y g5
1	4	2	3	6	8	+	-	-	-	+	+	+	-	11,4	10,5	13,8	14,0	12,1	12,36	2,303	12,10	0,0676
2	3	3	6	2	5	+	+	-	-	-	-	+	+	18,1	17,4	15,2	16,8	19,2	17,34	2,228	17,08	0,0676
3	8	6	2	4	1	+	-	+	-	-	+	-	+	10,8	9,3	11,6	12,1	9,8	10,72	1,387	10,98	0,0676
4	6	1	7	1	6	+	+	+	-	+	-	-	-	18,8	29,6	22,0	22,8	20,7	21,38	2,752	21,64	0,0676
5	5	8	1	3	4	+	-	-	+	+	-	-	+	12,9	12,8	13,6	15,2	14,0	13,70	0,950	13,98	0,0784
6	2	5	5	7	2	+	+	-	+	-	+	-	-	12,0	11,6	14,2	13,4	12,5	12,74	1,118	13,00	0,0676
7	1	7	4	8	7	+	-	+	+	-	-	+	-	15,1	14,8	16,8	18,1	17,0	16,36	1,913	16,10	0,0676
8	7	4	8	5	3	+	+	+	+	+	+	+	+	13,5	11,9	14,3	17,0	16,2	14,58	4,227	14,32	0,0676
å	119,18	16,878	-	0,5410

При первичной обработке результатов экспериментов пользуемся формулами (4) и (5), а затем проверяем воспроизводимость опытов по (7)

Таким образом, подтверждена воспроизводимость опытов (отсутствие в данных грубых промахов), что позволяет, в свою очередь, найти среднюю дисперсию строчных выборок (дисперсию опытов) по (8)

C

v 3 = 8·(5-1) = 32 степенями свободы

Оценки коэффициентов уравнения регрессии ищутся по формуле (11)

и т.д. Аналогично находим b 3 = -0,55; b 12 = +0,61; b 13 = -2,30; b 23 = +0,26; b 123 = -0,81

Проверяем значимость оценок коэффициентов по критерию Стьюдента по формуле (12), предварительно найдя дисперсию оценок по формуле (13)

				;
Тогда		;				;

далее аналогично

t 12 = 2,602

;

t 13 = 9,812

;

t 23 = 1,109

;

t 123 = 3,455

Табличное значение критерия t i (табл.П.2) t кр (5%;v 3 =32) = 2,046, поэтому все найденные оценки коэффициентов, кроме b 23 , признаются значимыми и должны войти в модель

= 14,90 + 1,61x 1 + 0,86x 2 -0,55x 3 + 0,61x 1 x 2 -2,30x 1 x 3 - 0,81x 1 x 2 x 3

Для определения дисперсии адекватности по формуле (14) необходимо сначала найти числовые значения модели

g для каждой g-ой строки матрицы планирования, а затем подсчитать сумму квадратов разностей между модельным значением и средним арифметическим g той же строки

Тогда критерий Фишера (15) дает

что доказывает адекватность найденной модели. Ее можно использовать для управления технологическим процессом испытания резисторов

2. Дробный факторный эксперимент

Полный факторный эксперимент целесообразно использовать при сравнительно небольшом числе независимых факторов (обычно не больше 5), в противном случае число вариантов варьирования N = 2 n становится непомерно большим и реализация эксперимента затрудняется. В то же время в большинстве практических задач взаимодействия внешних порядков, начиная с третьего (а то и второго), отсутствуют или пренебрежимо малы, вследствие чего излишне много степеней свободы остается на проверку гипотезы адекватности. Если заранее пренебречь взаимодействиями высших порядков, то имеется возможность получить математическую модель при меньшем числу опытов, реализовав не весь план ДФЭ, а только его часть (дробную реплику).

Эксперимент, реализующий часть (дробную реплику) полного факторного эксперимента, называется дробным факторным экспериментом (ДФЭ). ДФЭ позволяет получить приближение искомой функциональной зависимости Y = f(X 1 ,...,X n ) в некоторой небольшой окрестности точки базового режима при минимуме опытов.

Так, для решения трехфакторной задачи можно ограничиться четырьмя вариантами (N = 4), если в планировании ПФЭ типа 2 2 произведение x 1 x 2 приравнять к третьей независимой переменной x 3 . Такое планирование, представленное матрицей табл 3, позволяет оценить свободный член b 0 и три коэффициента регрессии при линейных членах b 1 ,b 2 ,b 3 (из четырех опытов нельзя получить более четырех коэффициентов).

Таблица 3
Полуреплика от ПФЭ типа 2 3 (планирование типа 2 3-1 )
g	z0	z1	z2	z3	z4	z5	z6	z7
	x0	x1	x2	x3	x1x2	x1x3	x2x3	x1x2x3
1	+	-	-	+	+	-	-	+
2	+	+	-	-	-	-	+	+
3	+	-	+	-	-	+	-	+
4	+	+	+	+	+	+	+	+

Применение ДФЭ всегда связано со смешиванием, т.е. совместной оценкой нескольких коэффициентов уравнения связи. В нашем примере, если коэффициенты регрессии b ij при парных произведениях отличны от нуля, то каждый из найденных коэффициентов будет оценкой двух теоретических коэффициентов:

b 0 ® b 0 + b 123 ; b 2 ® b 2 + b 13 ;

b 1 ® b 1 + b 23 ; b 3 ® b 3 + b 12 .

Действительно, указанные коэффициенты в таком планировании не могут быть найдены раздельно, поскольку столбцы матрицы для линейных членов и парных произведений совпадают (полностью скоррелированы). Рассмотренный план ДФЭ представляет половину плана ДФЭ типа 2 3 и называется "полурепликой" от ПФЭ типа 2 3 или планированием типа N = 2 3-1 .

При большом числе переменных можно построить дробные реплики высокой степени дробности (1/4, 1/8, 1/16 и т.д.). Дробная реплика обозначается через 2 n-p , если p переменных приравнены к соответствующим произведениям переменных.

Для правильного планирования ДФЭ необходимо использовать все полученные ранее сведения об объекте теоретического и интуитивного характера и выделить из них те переменные и произведения переменных, влияние которых на процесс минимально. При этом смешивание нужно производить так, чтобы основные оценки b 0 ,b 1 ,...,b n были смешаны с взаимодействиями, о которых заранее известно, что они не оказывают влияния на объект. Следовательно, произвольное разбиение матрицы планирования 2 3 на две части выделения полуреплики типа 2 3-1 недопустимо.