Управление техническими системами лекции (стр. 3 из 17)
,где
и 
- частные производные от F по х и у. Данное уравнение называется уравнением в приращениях, поскольку значения х и у здесь заменены на приращения Dх = х - х0 и Dу = у - у0.Линеаризация ДУ происходит аналогично, отличие состоит только в том, что необходимо искать частные производные по производным (
, 
, 
и т.д.).Пример. Линеаризация нелинейного ДУ.
3xy - 4x2 + 1,5
y = 5 
+ yДанное ДУ является нелинейным из-за наличия произведений переменных х и у. Линеаризируем его в окрестности точки с координатами х0 = 1,
= 0, 
= 0. Для определения недостающего начального условия у0 подставим данные значения в ДУ:3у0 - 4 + 0 = 0 + у0 откуда у0 = 2.
Введем в рассмотрение функцию
F = 3xy - 4x2 + 1,5x’y - 5y’ - y
и определим все ее производные при заданных начальных условиях:
= (3у - 8х 
= 3*2 - 8*1 = -2, 
= (3х + 1,5x’ - 1 = 3*1 + 1,5*0 - 1 = 2, 
= (1,5у = 1,5*2 = 3, 
= -5.Теперь, используя полученные коэффициенты, можно записать окончательное линейное ДУ:
-5.Dy’ + 2.Dy + 3.Dх’ - 2.Dх = 0.
¨
2.5. Преобразования Лапласа.
Исследование АСР существенно упрощается при использовании прикладных математических методов операционного исчисления. Например, функционирование некоторой системы описывается ДУ вида
, (2.1)где х и у - входная и выходная величины. Если в данное уравнение вместо x(t) и y(t) подставить функции X(s) и Y(s) комплексного переменного s такие, что
и 
, (2.2)то исходное ДУ при нулевых начальных условиях равносильно линейному алгебраическому уравнению
a2 s2 Y(s) + a1 s Y(s) + a0 Y(s) = b1 X(s) + b0 X(s).
Такой переход от ДУ к алгебраическому уравнению называется преобразованием Лапласа, формулы (2.2) соответственно формулами преобразования Лапласа, а полученное уравнение - операторным уравнением.
Новые функции X(s) и Y(s) называются изображениями x(t) и y(t) по Лапласу, тогда как x(t) и y(t) являются оригиналами по отношению к X(s) и Y(s).
Переход от одной модели к другой достаточно прост и заключается в замене знаков дифференциалов
на операторы sn, знаков интегралов 
на множители 
, а самих x(t) и y(t) - изображениями X(s) и Y(s).Для обратного перехода от операторного уравнения к функциям от времени используется метод обратного преобразования Лапласа. Общая формула обратного преобразования Лапласа:
, (2.3)где f(t) - оригинал, F(jw) - изображение при s = jw, j - мнимая единица, w - частота.
Эта формула достаточно сложна, поэтому были разработаны специальные таблицы (см. табл. 1.1 и 1.2), в которые сведены наиболее часто встречающиеся функции F(s) и их оригиналы f(t). Они позволяют отказаться от прямого использования формулы (2.3).
Таблица 1.2 - Преобразования Лапласа
| Оригинал x(t) | Изображение X(s) |
| d-функция | 1 |
| 1 | |
| t |  |
| t2 |  |
| tn |  |
| e-at |  |
| a.x(t) | a.X(s) |
 |  |
| x(t - a) | X(s).e-as |
 | sn.X(s) |
 |  |
Таблица 1.2 - Формулы обратного преобразования Лапласа (дополнение)
| Изображение X(s) | Оригинал x(t) | |
 | a Î R, M Î R (a и М - действительные числа) | M.e-at |
| a = a1 + j. a2 M = M1 + j.M2 (a и М - комплекные) | 2.e-a1t.[M1.cos(a2.t) - M2.sin(a2.t)] | |
Закон изменения выходного сигнала обычно является функцией, которую необходимо найти, а входной сигнал, как правило, известен. Некоторые типовые входные сигналы были рассмотрены в п. 2.3. Здесь приводятся их изображения:
единичное ступенчатое воздействие имеет изображение X(s) =
,дельта-функция X(s) = 1,
линейное воздействие X(s) =
.Пример. Решение ДУ с использованием преобразований Лапласа.
Допустим, входной сигнал имеет форму единичного ступенчатого воздействия, т.е. x(t) = 1. Тогда изображение входного сигнала X(s) =
.Производим преобразование исходного ДУ по Лапласу и подставляем X(s):
s2Y + 5sY + 6Y = 2sX + 12X,
s2Y + 5sY + 6Y = 2s
+ 12 ,Y(s3 + 5s2 + 6s) = 2s + 12.
Определяется выражение для Y:
.Оригинал полученной функции отсутствует в таблице оригиналов и изображений. Для решения задачи его поиска дробь разбивается на сумму простых дробей с учетом того, что знаменатель может быть представлен в виде s(s + 2)(s + 3):
= 
= 
+ 
+ 
==
.Сравнивая получившуюся дробь с исходной, можно составить систему из трех уравнений с тремя неизвестными:
М1 + М2 + М3 = 0 M1 = 2