Экзаменационные билеты по аналитической геометрии за первый семестр 2001 года (стр. 4 из 5)
Зав. кафедрой
--------------------------------------------------
Экзаменационный билет по предмету
АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ
Билет № 24
111. Какой угол образуют нормальные векторы двух перпендикулярных плоскостей?
112. Написать общее уравнение плоскости, проходящей через ось Оz.
113. Напишите каноническое уравнение кругового цилиндра.
114. Какие плоскости симметрии имеет однополостный гиперболоид
?115. Приведите к каноническому виду уравнение поверхности второго порядка
–x2 + 4y2 - z2 + 4xz = 24. Определить вид этой поверхности.
Зав. кафедрой
--------------------------------------------------
Экзаменационный билет по предмету
АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ
Билет № 25
116. Что называется углом между прямыми на плоскости?
117. Найти нормальный вектор
плоскости, в которой лежат векторы 
(2, -1, 2)и 
(0, 3, 1).118. Напишите формулы преобразования декартовых прямоугольных координат в пространстве при повороте вокруг оси Оz на угол a.
119. Напишите каноническое уравнение параболического цилиндра с образующей, параллельной оси Оу.
120. По характеристическим числам соответствующей квадратичной формы выяснить, какую невырожденную поверхность второго порядка определяет следующее уравнение: 4x2 – y2 – z2 – 4xz =2?
Зав. кафедрой
--------------------------------------------------
Экзаменационный билет по предмету
АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ
Билет № 26
121. Напишите условие параллельности прямых на плоскости, заданных уравнениями с угловыми коэффициентами.
122. Найдите уравнение плоскости, проходящей через три данные точки:
М1 (3, 0, 0), М2 (0, 1, 0), М3 (0, 0, 1).
123. Напишите каноническое уравнение гиперболического цилиндра. Какой координатной оси параллельна образующая этого цилиндра? Какая линия второго порядка является направляющей этого цилиндра?
124. Найдите точки пересечения прямой
и сферы х2 + у2 + z2 = 16.125. По характеристическим числам соответствующей квадратичной формы выяснить, какую невырожденную поверхность второго порядка определяет следующее уравнение: 5x2 + 2y2 + z2 + 2xz = 5?
Зав. кафедрой
--------------------------------------------------
Экзаменационный билет по предмету
АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ
Билет № 27
126. Напишите условие параллельности прямой и плоскости.
127. Найдите уравнение плоскости, проходящей через три данные точки:
М1 (3, 1, 0), М2 (1, 2, 0), М3 (0, 0, 0).
128. Напишите каноническое уравнение двухполостного гиперболоида. Что называется полуосями этого гиперболоида?
129. Какие плоскости симметрии имеет параболоид 2z =
?130. Напишите характеристическое уравнение квадратичной формы:
х2-5у2-z2-10xz и найдите ее характеристические числа.
Зав. кафедрой
--------------------------------------------------
Экзаменационный билет по предмету
АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ
Билет № 28
131. Что называется уравнением линии на плоскости Оху?
132. Из точки (3, -2, 4) опустить перпендикуляр на плоскость
5х + 3у - 7z + 1= 0.
133. Какие сечения называют коническими?
134. Докажите, что прямая
лежит на гиперболоиде 
.135. Приведите к каноническому виду уравнение поверхности второго порядка
x2 + y2 + z2 – 6yz = 4. Определить вид этой поверхности.
Зав. кафедрой
--------------------------------------------------
Экзаменационный билет по предмету
АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ
Билет № 29
136. Какой вид имеет уравнение прямой, проходящей через две данные точки в пространстве.
137. Найти координаты вектора, представляющего собой векторное произведение вектора
= (2, -1, 1) на вектор 
(1, 1, 0).138. Какая поверхность называется поверхностью вращения?
139. Напишите каноническое уравнение гиперболического цилиндра с образующей, параллельной оси Оz.
140. Приведите к каноническому виду уравнение поверхности второго порядка
8x2 + 2y2 + 5z2 + 4yz = 48. Определить вид этой поверхности.
Зав. кафедрой
--------------------------------------------------
Экзаменационный билет по предмету
АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ
Билет № 30
141. Напишите условие перпендикулярности прямых в пространстве.
142. Найти координаты основания высоты, опущенной из вершины B треугольника ABC, если вершины известны: A(0, 5); B(1, 3); C(3, 0).
143. Дайте определение конического сечения (коники).
144. Меридиан
вращается вокруг оси Oz. Какая поверхность второго порядка получается?145. Приведите к каноническому виду уравнение поверхности второго порядка
x2 + y2 + 2z2 – 8xy – 6xz + 24 = 0. Определить вид этой поверхности.
Зав. кафедрой
--------------------------------------------------
Экзаменационный билет по предмету
АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ
Билет № 31
146. Какой вектор называется векторным произведением вектора
на вектор ?147. Докажите, что две прямые на плоскости перпендикулярны, если
= (3, -1) и 
= (2, 6) - их нормальные векторы.148. Напишите каноническое уравнение эллиптического цилиндра. Какой координатной оси параллельна образующая этого цилиндра? Какая линия второго порядка является направляющей этого цилиндра?
149. Докажите, что прямая
, лежит на цилиндрической поверхности
.150. Напишите характеристическое уравнение квадратичной формы:
х2+4у2-2z2-2xz и найдите ее характеристические числа.
Зав. кафедрой
--------------------------------------------------
Экзаменационный билет по предмету
АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ
Билет № 32
151. Известно, что
- направляющий вектор прямой в пространстве, - нормальный вектор плоскости. Какой угол могут образовывать векторы и , если прямая и плоскость перпендикулярны?152. Найти точку М0 (x0, y0, z0) пересечения плоскости 5x – 2y + z = 1 и
прямой
153. Что называется текущими координатами на поверхности F(х, у, z) = 0?
154. Докажите, что прямая
лежит на параболоиде 
.155. По характеристическим числам соответствующей квадратичной формы выяснить, какую невырожденную поверхность второго порядка определяет следующее уравнение: 4ху + 2х2 + 5у2 + 7z2 = 70.
Зав. кафедрой
--------------------------------------------------
Экзаменационный билет по предмету
АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ
Билет № 33
156. Что называется уравнением первой степени относительно х, у, z?
157. Найти общее уравнение плоскости, проходящей через ось Оz и точку М(1, 1,0).
158. Напишите каноническое уравнение эллипсоида.
159. Найдите точку пересечения прямой
и гиперболоида х2 + у2 - z2 = 1.160. С помощью какого преобразования координат приводится к каноническому виду уравнение поверхности второго порядка
? Как называется эта поверхность?Зав. кафедрой
--------------------------------------------------
Экзаменационный билет по предмету
АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ
Билет № 34
161. Напишите условие перпендикулярности двух плоскостей.