Экзаменационные билеты по аналитической геометрии за первый семестр 2001 года (стр. 3 из 5)
--------------------------------------------------
Экзаменационный билет по предмету
АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ
Билет № 13
56. Что называется углом между прямой и плоскостью?
57. Найти направляющий вектор прямой
.58. Какая поверхность называется линейчатой?
59. Меридиан
= -1 вращается вокруг оси Оz. Какая поверхность второго порядка при этом получается?60. Приведите к каноническому виду уравнение поверхности второго порядка
6x2 + 5y2 + 6z2 – 8xz = 20. Определить вид этой поверхности.
Зав. кафедрой
--------------------------------------------------
Экзаменационный билет по предмету
АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ
Билет № 14
61. Что называют смешанным произведением трех векторов?
62. Докажите, что прямая
лежит на плоскости 3x – 4y – z – 4 = 0.
63. Напишите каноническое уравнение эллипсоида вращения.
64. Доказать, что эллиптический параболоид 2z =
+ у2 имеет одну общую точку с плоскостью 2х - 2у - z - 10 = 0, и найти ее координаты.65. С помощью какого преобразования координат приводится к каноническому виду уравнение поверхности второго порядка
2(z - 1) =
? Как называется эта поверхность?Зав. кафедрой
--------------------------------------------------
Экзаменационный билет по предмету
АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ
Билет № 15
66. Что называется текущими координатами на линии F(х, у) = 0?
67. Найти координаты основания высоты, опущенной из вершины B треугольника ABC, если вершины известны: A(1, 1); B(2, 4); C(0, -1).
68. Напишите каноническое уравнение двухполостного гиперболоида вращения.
69. Какие плоскости симметрии имеет конус
?70. По характеристическим числам соответствующей квадратичной формы выяснить, какую невырожденную поверхность второго порядка может определять следующее уравнение: х2 + у2 - 2уz = 12.
Зав. кафедрой
--------------------------------------------------
Экзаменационный билет по предмету
АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ
Билет № 16
71. Какой угол могут образовывать направляющие векторы двух параллельных прямых в пространстве?
72. Найти каноническое уравнение прямой
73. Напишите каноническое уравнение однополостного гиперболоида. Что называется полуосями этого гиперболоида?
74. Меридиан у2 + z2 = 4 вращается вокруг оси Оz. Какая поверхность второго порядка при этом получается?
75. По характеристическим числам соответствующей квадратичной формы выяснить, какую невырожденную поверхность второго порядка определяет следующее уравнение: 6x2 + 2y2 – 6z2 – 2xy =10?
Зав. кафедрой
--------------------------------------------------
Экзаменационный билет по предмету
АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ
Билет № 17
76. Что называется нормальным вектором плоскости?
77. Найти координаты основания перпендикуляра, опущенного из точки С(1,1) на прямую, проходящую через точки A(1, 0) и B(2, -1).
78. Напишите каноническое уравнение гиперболического параболоида.
79. Напишите каноническое уравнение эллиптического цилиндра с образующей, параллельной оси Оz.
80. Приведите к каноническому виду уравнение поверхности второго порядка:
-2х2 + 6у2 + 6z2 + 4zу - 1 = 0.
Зав. кафедрой
--------------------------------------------------
Экзаменационный билет по предмету
АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ
Билет № 18
81. Напишите условие параллельности двух плоскостей.
82. Докажите, что две прямые на плоскости параллельны, если
= (2, 7) и 
= (4, 14) - их нормальные векторы.83. Каким преобразованием можно привести к каноническому виду уравнение поверхности второго порядка:
?84. Напишите каноническое уравнение эллиптического цилиндра с образующей, параллельной оси Ох.
85. Приведите к каноническому виду уравнение поверхности второго порядка:
2х2 + у2+3z2-4yz+1=0. Определить вид этой поверхности.
Зав. кафедрой
--------------------------------------------------
Экзаменационный билет по предмету
АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ
Билет № 19
86. Как найти направляющий вектор прямой в пространстве, заданной как пересечение двух плоскостей?
87. Найти координаты основания перпендикуляра, опущенного из точки С(0,1) на прямую, проходящую через точки A(1, 1) и B(2, 1).
88. Какого типа существуют цилиндры второго порядка?
89. Как называется линия второго порядка, по которой плоскость
z =
пересекает эллипсоид х2 + у2 + 
? Напишите уравнение этого сечения.90. Приведите к каноническому виду уравнение поверхности второго порядка
2x2 + 3y2 + 2z2 + 2xz = 9. Определить вид этой поверхности.
Зав. кафедрой
--------------------------------------------------
Экзаменационный билет по предмету
АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ
Билет № 20
91. Как вычисляется определитель второго порядка
? Вычислить 
.92. Написать общее уравнение плоскости, проходящей через начало координат.
93. Какая поверхность называется цилиндрической (цилиндром)?
94. Как называется линия второго порядка, по которой плоскость
у = 1 пересекает гиперболоид х2 +
? Напишите уравнение этого сечения.95. Напишите характеристическое уравнение для данной квадратичной формы и найдите ее характеристические числа: -2х2 + 2у2 + 6z2 +12хz .
Зав. кафедрой
--------------------------------------------------
Экзаменационный билет по предмету
АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ
Билет № 21
96. Напишите условие перпендикулярности прямой и плоскости.
97. Докажите, что прямая
лежит на плоскости х + у - z +1 = 0.98. Какой вид имеет каноническое уравнение эллипсоида? Какие величины называют полуосями эллипсоида?
99. Найдите точки пересечения прямой
и параболоида 2z = х2 + у2 .100. Напишите характеристическое уравнение для данной квадратичной формы и найдите ее характеристические числа:
.Зав. кафедрой
--------------------------------------------------
Экзаменационный билет по предмету
АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ
Билет № 22
101. Какой вид имеет уравнение плоскости, проходящей через три данные точки.
102. Найти координаты вектора, представляющие собой векторное произведение вектора
(1, 1, 3) на вектор 
(0, 2, 1).103. Какой вид имеет каноническое уравнение однополостного гиперболоида? Какие величины называют полуосями однополостного гиперболоида?
104. Напишите каноническое уравнение параболического цилиндра с образующей, параллельной оси Оz.
105. По характеристическим числам соответствующей квадратичной формы выяснить, какую невырожденную поверхность второго порядка определяет следующее уравнение: 2x2 + 2y2 + z2 + 8zy =3?
Зав. кафедрой
--------------------------------------------------
Экзаменационный билет по предмету
АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ
Билет № 23
106. Напишите условие перпендикулярности прямых у = к1х + b1, y = к2х + b2.
107. Найдите уравнение плоскости, проходящей через три данные точки:
М1 (1, 0, 0), М2 (0, 1, 0), М3 (0, 0, 2).
108. Напишите формулы преобразования декартовых прямоугольных координат в пространстве при параллельном сдвиге осей.
109. Докажите, что прямая
, лежит на конусе 
.110. С помощью какого преобразования координат приводится к каноническому виду уравнение поверхности второго порядка
? Как называется эта поверхность?