Макрокинетика гетерогенных каталитических реакций Устойчивость экзотермических реакций Выбор (стр. 3 из 6)
Поскольку величины Ψ 0 и Θ 0 зависят от поверхностных значений концентрации и температуры и потому не являются характерными параметрами процесса, они должны быть выражены через параметры
, отнесенные к условиям в ядре потока. Установлено, что при не слишком больших внешних разогревах θ ПС 0 ≈ С ∞и, следовательно, (Т 0*/Т*) Θ 0 ≈ Θ Ψ 0 = Ψσ (θ П) (где σ (θ п) - сильно возрастающая функция θ П).
В случае, когда зависимость η (Ψо) неоднозначна, график зависимости правой части φ (θ П) уравнения (34) от θ П имеет форму, показанную на рис, ШЛО. При увеличении θ П функция φ (θ П) резко возрастает за счет сильной зависимости Ψ 0 от θ П. При дальнейшем увеличении θ П. когда начинает сказываться внешне-диффузионное торможение процесса, функция φ (θ П) проходит через максимум и резко спадает до нуля. Решения уравнения (111.115) определяются как точки пересечения кривой φ (θ П) и прямой с наклоном В i Т. Из рис.1 видно, что уравнение (34) может иметь до пяти решений, причем при значениях числа В i Т меньше некоторых критических, решения, соответствующие малым внешним разогревай, исчезают. При увеличении температуры потока, а следовательно, параметра Ψ кривая φ (θ П) сдвигается вверх, и при значениях Ψ, больших некоторых критических, также исчезают низкотемпературные решения. Участку кривой φ (θ П) слева от точки 1 соответствует внутрикинетический, а между точками 2 и 3 - внутридиффузиошшй режим протекания реакции. В задаче с фиксированными значениями поверхностных концентраций и температуры внутрикинетический режим существует левее точки 4, а внутридиффузионный - правее точки 5. Наличие сопротивления теплоотводу на внешней поверхности зерна приводит к расширению области промежуточных неустойчивых состояний. Кроме того, при наличии внешнего сопротивления теплоотводу множественные режимы возникают и в том случае, когда зависимость η (Ψ 0) однозначна.
Рис.1. Графическое решение уравнения (34)
Промежуточных неустойчивых состояний. Кроме того, при наличии внешнего сопротивления теплоотводу множественные режимы возникают и в том случае, когда зависимость т) (Ч'о) однозначна.
Реакция первого порядка. Рассмотрим более подробно необратимую экзотермическую реакцию первого порядка на пористом катализаторе, имеющем форму пластины толщиной 2lс "запечатанными" боковыми гранями. Это простейший пример, на котором видны все характерные особенности рассматриваемой задачи. Пусть
. Если принять за масштаб температуры Т величину 
, то 
(35) 
Величины Ψ 0 иΘ 0 связаны с характерными параметрами задачи Ψ
, Θ= 
χ R 
следующими соотношениями, вытекающими из формул (28), (29)
(36), (37)При записи параметра в за масштаб внешней температуры принята величина
. При не слишком больших θ П (θ П 
1) величины 
и Т* практически совпадают и, так как 
. Заметим, что из формулы (37) следует существование максимально возможного разогрева θ п. макс=Θ п= mΘ.Используя соотношение (31) между концентрацией и температурой внутри катализатора, сведем систему (26), (27) к единственному уравнению относительно безразмерной температуры θ
(38)где x- безразмерная координата, принимающая значения x=0 в центре пластины и x=±1 - на ее поверхности.
Переходя к интегрированию уравнения (38), будем считать величину θ П, а следовательно, и значения параметров Ψ 0 и Θ 0 известными. Далее можно найти величину θ П, подставляя полученное решение в граничное условие (20). Таким образом, будем решать уравнение (38) с граничными условиями:
(39)Метод решения задачи (38), (39) выражается формулами (88) и (89):
(40), (41)Метод решения задачи (38), (39) изложен в предыдущем разделе, ее решение выражается формулами (88) и (89):
(42)где
(43)безразмерный параметр теплопередачи.
Исследуем сначала область
, в которой можно пренебречь внешнедиффузионным торможением. Тогда 
и задача сводится к совместному решению уравнений (42) и (41) относительно неизвестных величин θ l и θ П.В двух предельных случаях из этой системы уравнений можно исключить величину θ l. В кинетической области, считая
, получим из формулы (41): 
(44)Подставляя θ l, найденное из уравнения (44), в (42) получим в том же приближении:
(45)Во внутридиффузионной области можно положить в уравнении (42)
. При этом получаем: 
(46)Правая часть формулы (45) имеет минимум, равный при e ΨΘ 0, а минимум выражения (46) достигается при θ П = 2. Из выражения (46) следует, что во внутридиффузионном режиме правая часть уравнения (42) не зависит от параметра Ψ и, следовательно, значение θ П в этой области определяется только параметрами М и Θ 0.
Зависимость θ П ( М) при известных значениях Ψ и Θ 0 может быть построена с помощью графика функции φ (θ l). Действительно, задавая значение θ l, можно по графику определить
и, подставляя полученные значения θ п и θ l в формулу (42), построить зависимость θ П ( М). 
Рис 2. Зависимость внешнего разогрева θ П от параметра М: Θ=5; Ψ=0,37 (а); 0,30 (б); 0, 20 (в).
Рис.3. Зависимость внешнего разогрева θ п от параметра М: Θ=4 ( а-в); Ψ=0,47 ( а), 0,45 ( б), 0,40 ( в); Θ=3 ( г, д); Ψ=0,50 (г), 0,45 ( д); Θ=2; Ψ0,53 ( е).
На рис.2 и 3 приведен ход кривых θ П ( М) в области θ П~ 1 для нескольких значений Θ и Ψ. Пересекая полученные кривые прямыми М = const , можно найти соответствующие этим значениям параметра теплопередачи безразмерные перепады температуры между поверхностью катализатора и внешним потоком. Обратимся к изучению зависимости θ П ( М) при различных комбинациях параметров Θ и Ψ. Представленное на рис.2 семейство кривых соответствует Θ = 5 и нескольким значениям Ψ. В этом случае, как уже указывалось, зависимость θ l от
может быть неоднозначной, поэтому кривая М (θ П) тоже может быть неоднозначной в некоторой области изменения θ П. Границы области неоднозначности кривой М (θ П), отмеченные точками 4 и 5 на рис.2, в которых | dM /dθ п|=∞, соответствуют точкам максимума и минимума функции φ (θ l). Указанная неоднозначность М (θ П) при Θ >4,5 проявляется в том случае, когда Ψ < Ψ макс, где 
Ψ макс значение φ (θ l) в максимуме. При этом точкам 4 на рис.2 соответствуют θ п=2 ln ( Ψ макс/ Ψ ), а точкам 5 θ П =2 ln ( Ψ мин/ Ψ ) (где Ψ мин - значение φ (θ l) в минимуме). Если Ψ < Ψ мин, то на графике М (θ П) присутствуют точки типа 5 и 4; при Ψ мин < Ψ < Ψ макс точки типа 5 отсутствуют, и при Ψ > Ψ макс зависимость М (θ П) является однозначной.