Момент импульса и его свойства (стр. 2 из 2)
(4.109)В силу того, что собственные функции, получающиеся в результате действия операторов сдвига, подлежат нормировке, как это уже обсуждалось в разделе 4.3.5.10., мы имеем все основания определить эти операторы с точностью до постоянного множителя, т.е. вместо (4.109) ограничимся выражением
(4.110)
4.3.8.3. Исходные уравнения для вывода всей цепочки волновых функций – уравнения аннигиляции
(4.111)На основании формул (4.50) и (3.28) функцию можно
представить в виде 
(4.112)С учётом этого уравнение (4.111) в сферических координатах: запишется в форме
.(4.113)Совершим очень несложные преобразования, приводя к дифференциальному уравнению для функции
: 
откуда следует
(4.114)4.3.8.4. Разделяя переменные, получаем
(4.115)Учтём что
, 
(4.116)Интегрирование уравнения (4.116) даёт
(4.117)где
– постоянная интегрирования, определяемая из условия нормировки. Окончательно получаем формулу для функции 
(4.118)4.3.8.5.Формула (4.118) дает лишь предельные выражения волновых функций
, отвечающие максимальному и минимальному значениям квантового числа m, а именно 
и 
, или что то же самое 
. Все волновые функции, соответствующие промежуточным значениям 
очень просто получаются последовательным действием операторов 
с точностью до нормировочных множителей, которые могут быть рассчитаны в каждом конкретном случае4.3.8.6.Отметим, что мы не ставим перед собой и перед читателем задачу вывода общей формулы сферических волновых функций. Это связано, с одной стороны, с тем, что она обязательно покажется слишком перегруженной индексами и коэффициентами, к которым удобнее привыкать постепенно. С другой стороны, для практических целей редко требуются функции с большими значениями квантового числа l. В химическом обиходе встречается состояния с l= 0, 1, 2, 3, поэтому ограничимся этими значениями, (их символы см. в табл. 4.5 ).
4.3.8.7. Итак, нас будут интересовать s–, p–, d–, f– орбитали жесткого ротатора. Запишем соответствующие исходные функции
и 
, с точностью до постоянного множителя:для s-состояния
и 
для p- состояния
и 
для d- состояния
и 
для f- состояния
и 
4.3.8.8.Орбиталь s –типа – лишь одна и волновая пункция
требует только нормировки. Поскольку сомножитель 
уже нормирован, достаточно пронормировать функцию 
. Выделяя из элемента конфигурационного пространства 
(см. рис 4.3) все сомножители, определенные на переменной 
, получаем 
и, соответственно, нормировочное соотношение имеет вид
(4.119)Во всех дальнейших преобразованиях следующих двух разделов будем опускать постоянные численные коэффициенты перед волновыми функциями, получающимися в результате операций сдвигов состояний над исходными функциями
– степенями синусоиды 
.4.3.8.9. Квантовое число l=1 порождает три р-функции с m=1, 0, -1 т.е. орбитали с
Двум из них с 
отвечает 
Нормировочный множитель находим из соотношения 
.Откуда следует:
(4.120)Функцию
, необходимую для полного набора р-орбиталей, можно найти, сдвигая 
вниз или 
вверх на одно состояние 
Определим нормировочный множитель
для 
Интегрируя с помощью подстановки
и, следовательно полагая, 
получаем 
, т.е. 
4.3.8.10. Далее получим последовательно d-орбитали, отвечающие набору
. Соответственно 
(4.121) 
(4.121) 
(4.122)Отсюда получаются d-функции
; 
; 
.Величины
; 
; 
представлены в таблице 4.6.4.3.8.11. Аналогично получается весь набор f-функций
(4.123)Все найденные s-, р-, d- и f-орбитали сведём в таблицу 4.6.
Таблица 4.6. Сферические волновые функции
| Уровень | l | m |  |  |  |  | Символ Y |
| s | 0 | 0 | 1 | 1 |  |  |  |
| p | 1 |  |  |  |  | – “ – |  |
| 0 |  | 1 |  | – “ – |  | ||
| d | 2 |  |  |  |  | – “ – |  |
| |  | |  | – “ – |  | ||
| 0 |  | 1 |  | – “ – |  | ||
| f | 3 |  |  |  |  | – “ – |  |
| |  | |  | – “ – |  | ||
| |  | |  | – “ – |  | ||
| 0 |  | 1 |  | – “ – |  |