Строение вещества (стр. 1 из 3)

1. Основы квантовой механики и строение атома

I. Элементарные сведения о корпускулах и волнах и предпосылки квантовой теории. Движения корпускул и сплошных сред. Корпускулярные и волновые свойства света. Волновые и корпускулярные свойства материи. Волны материи (волны де Бройля). Простейшие виды движения частиц. Линейное движение на ограниченном интервале и модель потенциального ящика. Квантование энергии и энергетическая диаграмма. Понятие о спектральных переходах в квантовых системах. Длина волны, волновое число, частота и энергия спектрального перехода.

Основные формулы: h/p; l=h/mc (для электромагнитной волны);

замена с=vÞl=h/mv (волна материи - волна де Бройля);

1) Частица в одномерном ящике

(аналогия со стоячей волной, образуемой натянутой струной)

L=nl/2, " nÎN {1, 2, 3,... ¥}; U(x) =0, E=T=p2/2m, " xÎ [0, L]

Уровни энергии частицы в одномерном “потенциальном ящике”:

II. Движение на круговой орбите (Для самостоятельного ознакомления). Стоячие волны де Бройля на орбите и квантование величины L=vr. Квантование классического "радиуса орбиты". Боровский радиус a0=? 2/e2. Теорема вириала и вывод формулы квантования орбитальной энергии атома H и водородоподобного иона (формула Бора). Система атомных единиц.

2) Движение электрона на круговой орбите.

Уровни водородоподобного атома (иона) и радиусы орбит:

Отсюда следует формула Бора:

Атомная система единиц:

1) единица массы-масса электрона [M] =1 а. е. M =e;

2) единица заряда – элементарный заряд - заряд электрона [Q] =1 а. е. Q =e;

3) единица длины – боровский радиус [L] =1 а. е. L =a0;

4) В атомной системе модуль циклической константы Планка равен единице:

В атомной системе единиц формулы для уровней энергии и “радиусов” движения в водородоподобных атомах (одноэлектронных ионах) выглядят особенно просто:

III. Уравнение плоской бегущей волны де Бройля и способ построения операторов импульса и энергии. Операторные уравнения.

3) Плоская световая волна (элекромагнитное поле):

или y= A. exp [±i (wt - wx/c)]

4) Подстановки E = ћw = mc2 Þw = mc2/ћ = pc/ћ Þw = E/ћ приводят к формуле для плоской волны материи

5) Плоская волна материи. Операторы динамических переменных

Получены важные формулы для операторов энергии и импульса

IV. Физические, математические основы, и постулаты квантовой механики. Понятие о конфигурационном пространстве (КФ) системы частиц. При описании механических движений в системе частиц {1, 2, 3,... n} используются различные пространственные переменные. Их совокупность называется конфигурационным пространством. Координаты могут быть декартовы {x1, y1, z1, x2, y2, z2, x3, y3, z3,... xn, yn, zn}, или полярные, например, шаровые {r1, J1, j1, r2, J2, j2, r3, J3, j3,... rn, Jn, jn}, или иные: {q1, q2, q3,... q‑2, q-1, qn}.

Максимальная размерность КФ 3n. В общем случае КФ является математической абстракцией. Лишь в случае одной частицы имеет геометрический смысл. Содержание постулатов квантовой механики:

Постулат 1. Волновая функция и ее свойства (конечность, однозначность, непрерывность и нормировка): y(q1, q2,... qn, t). Ûòòò... òòy(q1, q2,... qn) y*(q1, q2,... qn) dv(q1, q2,... qn) =1.

Область интегрирования охватывает полный возможный диапазон значений каждой переменной. Вероятностный смысл волновой функции:

y(q1, q2,... qn) y*(q1, q2,... qn) = |y(q1, q2,... qn) |2=r(q1, q2,... qn)

|y(q1, q2,... qn) | 2dv(q1, q2,... qn) =dw(q1, q2,... qn). Кратко: |y|2dv=dw

Волновая функция (ВФ) это математический образ состояния системы – функция состояния.

Её квадрат это плотность вероятности распределения по конфигурационному пространству системы, пребывающей в некотором состоянии, которому отвечает ВФ y.

Постулат 2. Измерения физических величин и операторные уравнения. Уравнения {

} - математические образы измерений. Операторы - образы макроскопических приборов. Связь операторов различных динамических переменных. Операторы основных динамических переменных (импульса и его компоненты, координат и потенциальной энергии, момента импульса и его компонент, кинетической энергии,). Гамильтониан.

Постулат 3. Временное и стационарное уравнения Шрёдингера. Стационарные системы. Гамильтониан, не зависящий от времени. Основа теоретической химии - стационарное уравнение Шрёдингера.

{

}.

. Если гамильтониан независим от времени: .

Для самостоятельного ознакомления: Стационарные системы. Подстановка с целью

разделения времени и пространственных переменных: Y(q, t) =y(q). t(t).

Разделение переменных приводит к двум дифференциальным уравнениям:

Пространственная часть волновой функции - стационарное уравнение Шрёдингера - это операторное выражение закона сохранения энергии в стационарной системе.

Временная часть волновой функции описывает периодический процесс. В стационарной системе все движения строго периодичны - движение постоянно повторяется с круговой частотой

:

Постулат 4. Суперпозиция состояний. Состояния чистые и смешанные. Математические и физические основания принципа суперпозиции.

Формулировка:

Если две волновые функции являются решениями операторного уравнения на собственные значения, то их линейная комбинация также является решением этого уравнения.

Этот принцип называется принципом суперпозиции состояний и допускает обобщение на любое число собственных функций, образующих спектр оператора.

При описании состояний реальных систем в общем случае всегда возникает проблема определения коэффициентов

Постулат 5. Средние значения динамических переменных:

Его формулировка:

Среднее значение динамической величины, полученное в результате многих измерений, равно математическому ожиданию этой величины, вычисленному с помощью её динамического оператора.

Это утверждение на первый взгляд кажется простым следствием второго постулата, но это справедливо лишь для состояния “чистого”, волновая функция которого есть одна из простейших в спектре собственных функций динамического оператора. Для “смешанного” состояния волновая функция является уже суперпозицией более простых волновых функций, и этот постулат вводится как основание для вычислений усреднённых значений физических характеристик системы.

Для подавляющего большинства реальных систем уравнение Шрёдингера имеет слишком сложный вид, и невозможно получить спектры его собственных волновых функций и собственных значений гамильтониана (энергетических уровней всех квантовых состояний) в аналитической форме в зависимости от квантовых чисел (номеров состояний-уровней).

В силу этого расчёт свойств реальной системы почти всегда начинается с составления приближённой волновой функции для какого-то отдельно выбранного квантового состояния, а данный постулат предписывает способ вычисления наблюдаемой физической величины с помощью искусственно конструируемой волновой функции.

В этом и состоит значение 5-го постулата.

V. Уравнение Шрёдингера для простейших квантовомеханических систем.

Общая схема и примеры составления и решения уравнения Шрёдингера.

1. Одномерный "потенциальный ящик" как простейшая модель замкнутого поступательного движения. Волновые функции, граничные условия и квантование энергии (энергетический спектр). Энергетическая диаграмма и графики волновых функций. Узлы и пучности волновых функций. Нормировка. Связь номера уровня с числом узлов и пучностей волновой функции - стоячей волны де Бройля. Области применения модели "потенциального ящика".

2. Понятие о трёхмерном "потенциальном ящике" как простейшей модели замкнутого пространственного движения частицы. Квантовые числа (nx; ny; nz). Уровни кубического ящика, их вырождение:

3. Плоский ротатор - простейшая модель вращения в плоскости. Условие однозначности и комплексные волновые функции плоского ротатора. Квантование энергии. Вырождение уровней. Действительные орбитали, их полярные графики и классификация состояний-уровней: {s, p, d,... }.

Рабочие формулы: Формула оператора момента импульса в плоском вращении подобна формуле оператора импульса в поступательном движении. Необходимы замены величин xÛj и m=I:

Þ