Линейный гармонический осциллятор (стр. 2 из 3)
. (3.91)3.5.9. Переход к обычной энергетической шкале с использованием подста-новок (3.74б и 3.74в) дает
. (3.92)Согласно формуле (3.92), уровни гармонического осциллятора эквидис-тантны, и интервал между.ними равен 
.
3.5.10. Продолжая исследование лесенки уровней, учтем, что сверху она неограничена, но нижняя граница определена уровнем основного состояния Ψ0, ниже которого не существует состояний системы. Поэтому попытка подействовать оператором понижения
на волновую функцию основного состояния должна дать нулевой результат, т.е. применительно к волновой функции основного уровня оператор понижения сыграет роль ее “уничтожителя” – аннигилятора: 
(3.93)Здесь целесообразно вернуться к переменной х. С учетом выражения для
(3.80) и подстановки (3.74а) формулу (3.93) после простых преобразований приводим к дифференциальному уравнению для 
: 
, (3.94)при интегрировании которого получим волновую функцию основного состояния:
. (3.95)Далее находим нормировочный множитель А0:
(3.96) 
. (3.97)При раскрытии выражения (3.96) использован интеграл Пуассона:
.3.5.11. Волновая функция
является собственной функцией гамильто-ниана. Поэтому для расчета основного уровня достаточно подействовать по-следним на и определить собственное значение 
(3.98)Энергия искомого основного уровня равна
. (3.99)Последовательными сдвигами на вверх, согласно уравнению (3.92), получается вся лесенка энергетических уровней, и схема квантования энергии осциллятора передается формулой:
(3.100)3.5.12. Оператор повышения
позволяет получить весь спектр волновых функций из . Если υ раз подействовать оператором на , то получится 
с точностью до постоянного множителя. Иными словами, генератор волновой функции υ-го состояния – это оператор повышения, возведенный в степень υ: 
. (3.101)Напомним, что любое преобразование волновой функции, в общем случае, порождает необходимость новой нормировки.
3.5.13. Обсудим вид волновых функций осциллятора. Для этого удобно произвести еще одно упрощение за счет замены переменной путем подстановки:
, (3.102)благодаря чему
и оператор повышения 
, необходимый для полу-чения 
, примут вид: 
, (3.103) 
. (3.104)Постоянный коэффициент в выражении (3.104) ие играет роли, так как к функции Ψυ, генерируемой по формуле (3.105), он добавляет лишь множитель
, который далее автоматически входит в состав нормировочного множителя Аυ, и поэтому Ψυ передается формулой: 
(3.105)Оператор
представляет собой бином, составленный из степеней переменной s и оператора дифференцирования 
, который в свою очередь извлекает из гауссовой экспоненты 
степенные множители, в результате выражение (3.105) преобразуется к виду: 
, (3.106)где
– многочлен степени υ, называемый полиномом Эрмита. Нетрудно убедиться, что эти полиномы можно представить выражением, которое легко запоминается, благодаря своей симметричности: 
. (3.107)Последовательно придавая υ значения 0, 1, 2, 3 …, читатель легко может вывести формулы полиномов Эрмита разных порядков. Для того, чтобы читатель смог проверить свои расчеты, приведем в табл.2 несколько первых полиномов Эрмита вместе с их корнями и графиками. В табл.2 также изображены графики ненормированных волновых функций
=. 
У волновых функций имеется один и тот же множитель – экспонента
; эта быстро спадающая к нулю функция при удалении от начала координат “прижимает” к оси абсцисс расходящиеся было ветви полиномов. В результате получается картина, очень напоминающая поведение волновых функции “ящика”.Табл.2.
Полиномы Эрмита и волновые функции гармонияеского
осциллятора
| υ | | Корни полиномов | Графики полиномов | Графики волновых функций . |
| 0 | 1 | - | ||
| 1 | 2s | 0 | ||
| 2 | 4s2 - 2 | ±1/√2 | ||
| 3 | 8s3 - 12 s | 0; ±3/2 | ||
| 4 | 16s4-48s2+12 | ±0,525; ±1,651 |
Читатель может сам получить формулу для нормировочных коэффициентов или взять их готовое выражение:
. (3.108)3.5.14. Прямыми вычислениями нетрудно еще раз проверить свойство ортогональности волновых функций. Интегрирование по всей области возможных значений переменной х дает:
, (3.109)что наглядно видно из графиков табл. 2
Напомним, что свойство ортогональности – это общее свойство собствен-ных функций любого эрмитова оператора, к числу которых относится и гамильтониан.
3.5.15. Все полиномы Эрмита и порождаемые ими волновые функции делятся на два класса – четные и нечетные. Ранее подобное свойство наблюдалось у волновых функций “ящика” и “ротатора”. Анализ четности волновых функций и их произведений оказывается очень полезным при оценке различных характеристик системы. Рассмотрим это на примерах.
Покажем, что среднее отклонение колеблющейся системы от положения равновесия равно нулю. Следуя 5-му постулату, запишем для υ=0:
. (3.110)Подинтегральное выражение нечетное, так как образовано в виде произве-дения по правилу (чет × нечет × чет). Интеграл, взятый в симметричных пределах от нечетной функций, тождественно равен нулю, так что
. Это же имеет место и для других состояний.3.5.16. Иначе обстоит дело со среднеквадратичным отклонением
, на-зываемым среднеквадратичной амплитудой осциллятора. Произведем соответ-ствующие расчеты; вновь обращаясь к 5-му постулату: 
, (3.111) 
(3.112)