Операторы момента импульса и их коммутация (стр. 2 из 2)

Найдем далее результат действия операторов

на волновую функцию , для которой заданы квантовые числа l и m, т.е. , используя уравнения (4.64) и (4.69):

(4.85)

4.3.5.9. Выражение (4.85) – это по-прежнему операторное уравнение на собственные значения. Оно показывает, что функции

соответствует состояние с квантовым числом m+1, т. е увеличенным на единицу по сравнению с исходной функцией - состояние . Таким образом, оператор с полным правом может быть назван оператором повышения состояния (но не уровня!). Аналогично оператор – оператор понижения, так как функции соответствует уменьшенное квантовое число –

4.3.5.10. Следовательно, действие операторов повышения и понижения на волновую функцию

можно представить так

(4.86)

(4.87)

Обратите внимание на то, что операторы

и изменяют характеристику преобразуемой функции, и формулы (4.86) и (4.87) не создают уравнений на собственные значения, а постоянные – это просто численные множители. Таким образом, эти формулы позволяют “пересчитывать” состояния в проделах одного вырожденного уровня, которому отвечает конкретный модуль момента импульса, заданный квантовым числом l. При этом сдвиг между ближайшими значениями проекций равен , т.е.

. (4.88)

4.3.5.11. Напоминаем, что волновые функции

являются собственными функция-ми операторов и . На основании уравнений (4.64) и (4.68) можно записать

(4.89)

а из уравнений (4.58) и (4.70) следует

(4.90)

При вычитании (4.90) из (4.89) получаем операторное уравнение (4.71) с конкретным собственным значением

т.е.

. (4.91)

Целесообразно построить такую последовательность сомножителей из операторов сдвига, которая непосредственно приводила бы к ожидаемому результату (4.91).

4.3.5.12. Для этого исследуем произведение операторов вида

.

Подставляя коммутатор (4.66), получим

(4.92)

Совершенно аналогично

(4.93)

или при совместной записи

(4.94)

В этих формулах привлекательно то, что результат произведения двух операторов сдвигов выражается через операторы с действительными собственными значениями, как это следует из сопоставления правых частей уравнений (4.92) – (4.94), с одной стороны, и уравнений (4.90) и (4.91) – с другой.

4.3.5.13. Все коммутационные соотношения операторов момента импульса и его проекций, найденные в этом разделе, удобно свести в одну таблицу 4.З. . В строках таблицы указаны левые операторы-сомножители, а в столбцах – правые. На пересечении строки и столбца находится коммутатор соответствующих операторов. Обращаем внимание читателя на антисимметричный характер таблицы коммутаторов относительно главной диагонали, т.е. элементы, одинаково расположенные по разные стороны последней отличаются только знаками. Таким образом, при изменении порядка записи операторов–сомножителей коммутатор меняет знак.

Таблица 4.3. Коммутаторы операторов момента импульса

1\ 2
	0	0	0	0	0	0
	0	0
	0		0
	0			0
	0				0
	0					0