Общая модель волн материи. Формула Де-Бройля. Частица в "ящике" и частица на "орбите" (стр. 2 из 2)

Величина a0 = 0.529 Ao называется боровским радиусом. В полуклассической квантовой теории он считается радиусом первой круговой орбиты, на которой электрон движется в основном квантовом состоянии, но эта примитивная картина требует коррекции. Её содержание будет раскрыто лишь в квантовой механике.

На самом деле боровский радиус это расстояние наиболее вероятного удаления электрона от ядра на низшем энергетическом уровне - в основном состоянии атома H.

Задача 4.3. Вычислить ребро кубического ящика, в котором энергия первого электронного возбуждения совпадает с энергией первого перехода в атоме водорода. Сравните размеры атома и “ящика”.

ПРИМЕЧАНИЕ: Решение можно проводить в числах или в виде формул.

Теория к задаче 4.3.

Расстояние между квантованными уровнями энергии частицы в “ящике” зависит от массы частицы и размеров ящика, и квантование проявляется только для микрочастиц в пространстве, соответствующем атомным размерам.

Уровни трёхмерного кубического “ящика” легко получаются суммированием трёх одномерных уровней с учётом движений вдоль трёх направлений.

Возникает три независимых квантовых числа по числу механических степеней свободы.

4.2.1. Движение в ограниченном кубическом объёме.

Здесь L-ребро куба; m= масса электрона; e= заряд электрона.

Суммируя одномерные уровни, получаем

В кубическом ящике все рёбра одинаковы, и его энергетическая постоянная равна Bt=h2/8mL2, и уровни выражаются через неё в виде

Вычисления.

Каждое состояние (в квантовой механике – каждая волновая функция) характеризуется тройкой независимых квантовых чисел (nx, ny, nz).

Основной уровень характеризуется единственным набором возможных квантовых чисел (nx, ny, nz) = (1,1,1).

Меньше 1 квантовое поступательное число не может быть.

Первый возбуждённый уровень характеризуется уже тремя наборами квантовых чисел (nx, ny, nz) =(1,1,2); (1, 2, 1); (2,1,1).

Каждый набор отвечает одному состоянию. Все три принадлежат к одному и тому же ТРИЖДЫ ВЫРОЖДЕННОМУ уровню. Нас интересует квантовый переход [(1,1,1) Û (1,1,2); (1, 2, 1); (2,1,1)]

или в терминах дискретных квантованных уровней E111Û E112.

Примечание:

У первого уровня статистический вес (кратность вырождения) g=1,

У второго уровня статистический вес (кратность вырождения) g=3,

Статистические веса (вырожденности уровней) на энергии не сказываются.

Таким образом разность сумм квадратов квантовых чисел будет равна

[(nx) 2 + (ny) 2+ (nz) 2] возб - [(nx) 2 + (ny) 2+ (nz) 2] основн= (1+1+4) - (1+1+1) =3

Получаем формулу для энергии первого перехода (первого возбуждения) в ящике

. (4.11)

Энергетические уровни электрона в атоме водорода равны:

(4.12)

Здесь введена энергетическая постоянная для атома H:

(4.13)

Первый переход отвечает возбуждению (1®2) т.е. с уровня n=1 на уровень n=2.

Соответственно

. (4.14)

Энергии возбуждения в ящике и в атоме равны по условию задачи.

Поэтому

. (4.15)

Вспоминаем, что боровский радиус

и преобразуем предыдущий результат

. (4.16)

Откуда следует решение в аналитическом виде

L=2 a0; (4.17)

Поскольку "диаметр" 1-й орбитали по Бору равен d0=2a0, то получается, что диаметр атома в  раз меньше размера ящика.

Этот же результат можно получить непосредственно в числовых значениях.

В данном выводе не использовались особенности системы СИ в формулах сил и энергий кулоновского взаимодействия.

В системе СГС результат выводится проще без необходимости введения диэлектрической постоянной вакуума. В СГС она равна просто 1.