Моделирование процессов переработки пластмасс (стр. 2 из 5)
— оператор Лапласа в прямоугольной системе координат 
(2.4)G — интенсивность внутренних тепловыделений, отнесенная к единице объема.
Примерами внутренних тепловыделений являются поглощения инфракрасного излучения в полупрозрачных средах, экзотермический эффект химических реакций и т. п.
2.1.2. Теплопередача в стационарном режиме.
Теплопередачу в непрерывно действующих нагревательных системах перерабатывающего оборудования можно рассматривать как независящую от времени. Следовательно, распределение температур носит установившийся характер и определяется интегрированием дифференциального уравнения (2.5)
(2.5)2.1.3. Нестационарная теплопроводность.
В большинстве случаев в реальных процессах переработки приходится иметь дело с нестационарным режимом теплопроводности, когда полимер подвергают нагреву или охлаждению (например, охлаждение в форме отлитого изделия). Теоретические исследования процесса нестационарной теплопроводности представляют собой обширный раздел математической физики. Решения, получаемые в результате интегрирования уравнения (2.5), представляют собой функции времени и пространственных координат, удовлетворяющие начальным и граничным условиям. Различают четыре рода граничных условий Условия первого рода: задано распределение температур на поверхности, которое может либо быть постоянным, либо зависеть от времени; в простейшем случае, если положение границ определяется одним числом (например, расстоянием L), такие граничные условия математически определяются выражением вида (2.6):
(2.6)Условия второго рода: задана плотность теплового потока для каждой точки поверхности тела как функция времени:
(2.7)Условия третьего рода: задан коэффициент теплообмена, а на границе и температура контактирующей с граничной поверхностью среды:
(2.8)Условия четвертого рода: соответствуют теплообмену тела с окружающей средой по закону теплопроводности или теплообмену системы тел, находящихся в тепловом контакте (температура соприкасающихся поверхностей одинакова):
(2.9) 
(2.10)Аналитическая теория нестационарной теплопроводности располагает большим набором решений одномерных задач, к которым принято сводить все многообразие задач, встречающихся в инженерной практике. В настоящее время получены аналитические решения для теплопроводности в плоской стенке, в цилиндре, в корпусе и в сфере.
2.2. Нагревание и охлаждение тел простой геометрической формы
2.2.1. Плоская неограниченная пластина.
Под неограниченной обычно понимают такую пластину, ширина и длина которой во много раз превышают толщину. Таким образом, неограниченная пластина (рис. 2.1) представляет собой тело, ограниченное двумя параллельными плоскостями. Изменение температуры происходит только в одном направлении (х), в двух других направлениях (у и z) температура неизменна.
Рис. 2.1. Положение координат при исследовании теплового процесса в неограниченной пластине.
Следовательно, задача является одномерной. Для одномерного теплового потока без внутреннего источника тепла уравнение теплопроводности сводится к виду:
(2.11)Обычно используют граничные условия третьего рода:
(2.12)Рассмотрим случай, когда в начальный момент температура пластины во всех точках была одинакова и равна То. Это начальное условие записывается в виде:
(2.13)Решение, полученное методом преобразования Лапласа, имеет вид:
(2.14)Здесь
— безразмерная температура; 
— критерий Фурье (критерий гомохронности для процессов чистой теплопроводности ); 
- безразмерная координата; 
— функция ошибок, где 
; 
Если коэффициент теплоотдачи очень велик (это эквивалентно заданию постоянной температуры на стенке), уравнение (2.14) упрощается:
(2.15)Для прикидочных расчетов удобно пользоваться номограммой зависимости q от
представленной на рис.2.2 
Рис.2.2 Номограмма для определения безразмеоной температуры в сечении неограниченной пластины при
Если значение критерия Фурье велико, но не равно бесконечности, решение имеет вид:
(2.16)Здесь
(2.17)где
— корни характеристического уравнения 
(2.18)где Bi= aw/l — критерий Био.
Уравнение (2.18) имеет бесчисленное множество действительных положительных корней. Первые пять корней для различных значений критерия Био были вычислены Карслоу и Егером. Обычно на практике пользуются номограммами. Номограмма позволяющая определить безразмерную температуру при различных значениях критерях Био приведена на рис.2.3
Рис. 2.3 Номограмма для определения безразмерной температуры поверхности неограниченной пластины.
Аналогичная номограмма, предназначенная для определения температуры в центре пластины, приведена на рис.2.4.
Рис. 2.4 Номограмма для определения безразмерной температуры в середине неограниченной пластины
2.2.2 Неограниченный цилиндр.
Рассмотрим неограниченный цилиндр радиуса R, температура поверхности которого остается неизменной на протяжении всего процесса теплообмена. Радиальное распределение температур в начальный момент задано в виде некоторой функции Т(r). Необходимо найти распределение температур определения в цилиндре в любой момент времени. Задачи такого типа встречаются при расчете процессов охлаждения полимерного волокна, затвердевания литников литьевых форм и т. п.
Дифференциальное уравнение теплопроводности для цилиндра
имеет вид:
(2.19)Краевые условия:
Решение, полученное методом разделения переменных, в безразмерной форме, имеет вид:
(2.20)Для оценки изменения теплосодержания цилиндра определим среднюю температуру как:
(2.21)Тогда безразмерная средняя температура определится соотношением:
(2.22)где
; 
- корни функции Бесселя первого рода нулевого порядка определяемые выражением: 
(2.23)Таким образом, уменьшение средней температуры описывается простым экспоненциальным законом. Для удобства прикидочных расчетов на рис. IV. 10 приведена номограмма зависимости между q и Fo.
Рис. 2.5 Номограмма для определения зависимости между безразмерной средней избыточной температурой и критерием Фурье в случае неограниченного цилиндра.
2.3. Теплопроводность в процессах, сопровождающихся изменением физического состояния
Анализируя процессы переработки полимеров, часто приходится встречаться с задачей о нагреве или охлаждении полимера, сопровождающемся изменением физического состояния (плавлением или затвердением). Теоретическое рассмотрение задач такого типа впервые выполнено Нейманном.