Электротехника и электроника (стр. 5 из 19)

т.е. равенство выделяемой в резисторе R энергии за время tT , амплитуда синусоидального тока должна быть в 2 раз больше постоянного тока ^I₀.

Величина I

, называется действующим значением

синусоидального тока, и, подставив ее в последнее выражение, получим:

QI²RT , (3.10)

Сопоставив формулу (3.10), полученную для синусоидального тока, с формулой (3.7), справедливой для постоянного тока, делаем вывод: Действующее значение синусоидального тока равно такому значению постоянного тока, который за один период выделяет в том же резисторе такое же количество тепла, как и синусоидальный ток.

Аналогично существуют понятия действующих значений синусоидальных напряжений и ЭДС:

U

и E . (3.11)

Из формул (3.9) и (3.10) получаем:

I

(3.12)

В силу (3.12) действующее значение синусоидального тока часто называют среднеквадратичным или эффективным значениями.

Действующие значения токов и напряжений показывают большинство электроизмерительных приборов (амперметров, вольтметров).

В действующих значениях указываются номинальные токи и напряжения в паспортах различных электроприборов и устройств.

Под средним значением синусоидального тока понимают его среднее значение за полпериода:

T

I_ср

_m sin I_m , (3.13)

2

т.е. среднее значение синусоидального тока составляет =0,638 от амплитудного значения. Аналогично, E_ср 2Е_m / , U_ср .

3.1.3 Изображение синусоидальных токов, напряжений и ЭДС комплексными числами и векторами. Синусоидально изменяющийся ток i изображается комплексным числом:

i

. (3.14)

Принято изображение тока находить для момента времени t=0:

i

. (3.15)

Величину ^I&_m называют комплексной амплитудой тока или комплексом амплитуды тока.

Под комплексом действующего значения тока или под комплексом тока I^& понимают частное от деления комплексной амплитуды тока на 2 :

, (3.16)

Под комплексами напряжения и ЭДС понимают подобные выражения

U& E&

.

Рисунок 3.3 - Изображение синусоидального тока на комплексной плоскости вектором I^&

Комплексы тока, напряжения и ЭДС изображаются также на комплексной плоскости векторами. Например, на рисунке 3.3 изображен вектор ^I&. При этом угол

отсчитывается от оси +1 против часовой стрелки, если >0. Из рисунка 3.3 следует, что комплекс тока I^& (так же, как комплекс напряжения и ЭДС) можно представить: а) вектором I&;

б) комплексным числом в показательной, алгебраической и

тригонометрической формах:

I& I e ^{j i} Re I& j Jm I& Icos _i j I sin _i, (3.17)

Пример 3.1 Ток i 2 sin t 30⁰ А. Записать выражение для комплексной амплитуды этого тока.

Решение: В данном случае I_m=2 А,

=30⁰. Следовательно,

I&_m 2 e ^j300 2 cos30⁰ j 2 sin30 j1 А

Пример 3.2 Комплексная амплитуда тока I^&_m⁰ А. Записать выражение для мгновенного значения этого тока.

Решение: Для перехода от комплексной амплитуды к мгновенному значению надо умножить I^&_m на e и взять коэффициент при мнимой части от полученного произведения: i Jm 25 e j300 e j t Jm 25 e j t 300 25 sin t 300 .

Пример 3.3 Записать выражение комплекса действующего значения тока для примера 3.1.

Решение: I&

^j300 А.

3.2 Элементы электрических цепей синусоидального тока

Основные элементы электрических цепей синусоидального тока:

- источники электрической энергии (источники ЭДС и источники тока);

- резистивные элементы (резисторы, реостаты, нагревательные элементы и т.д.);

- емкостные элементы (конденсаторы);

- индуктивные элементы (катушки индуктивности).

3.2.1 Резистивный элемент (РЭ). На рисунке 3.4, а изображен РЭ, по которому течет ток

i _m sin t . (3.18)

По закону Ома напряжение РЭ

u _m sin U_m sin t , (3.19)

где ^U_m

_m .

Из формул (3.18) и (3.19) следует вывод: ток и напряжение в резистивном элементе совпадают по фазе (изменяются синфазно). Это положение наглядно иллюстрируется на рисунке 3.4, б, в. Из формул (3.19) следует другой вывод: закон Ома выполняется как для амплитудных значений тока и напряжения:

U_m R I_m, (3.20)

так и для действующих значений тока и напряжения:

U R I . (3.21)

Выразим мгновенную мощность p через мгновенные значения тока i и напряжения u :

p

2 (3.22)

U I 1 cos2 t .

Рисунок 3.4 - Резистивный элемент: а) изображение на схеме;

б) векторы тока и напряжения; в) графики тока и напряжения;

г) график мгновенной мощности

График изменения мощности p со временем представлен на рисунке 3.4, г. Анализ графика и формулы (3.22) позволяют сделать выводы:

– мгновенная мощность p имеет постоянную составляющую ^Um

U I и 2

переменную составляющую U^{m Im} cos2 t , изменяющуюся с частотой

2

2

;

–

мощность в любой момент времени положительна р 0 . Это значит, что в резистивном элементе происходит необратимое преобразование электрической энергии в другие виды энергии;

– постоянная составляющая в формуле (3.22) есть среднее значение мгновенной мощности за промежуток времени равный периоду Т . Следовательно, энергия W , преобразуемая в резистивном элементе в течение периода, подсчитывается по формуле

W

(3.23)

Энергия, преобразуемая в резистивном элементе за любой промежуток времени от 0 до t определяется по формуле