Анализ классической электродинамики и теории относительности (стр. 52 из 54)

Функция Бесселя J_n(r) является четной функцией для четных значений n (n = 0, 2, 4, …) и нечетной для нечетных значений n.

Теперь нам необходимо «построить» второе фундаментальное решение так, чтобы оно было нечетным для четных значений n и четным для нечетных значений. Иными словами, нам необходимо заново определить N_n (r) для отрицательных значений аргумента.

Мы поступим следующим образом. Поскольку функция N_n (r) имеет сингулярность в нуле, мы пока исключим из рассмотрения точку 0 и доопределим эту функцию для отрицательных значений r следующим образом.

Пусть N_n (- r) = N_n (r) для нечетных значений n (четная функция) и N_n (- r) = - N_n (r) для четных значений (нечетная функция). Вблизи нуля нечетная функция N_n (r) обращается в ± ∞. Несмотря на это, в точке 0 нечетная функция N_n (r) должна принимать значение 0.

Заметим, что при таком определении N_n (r) будет соблюдаться правильное чередование нулей функций J_n(r) и N_n (r) на всей действительной оси в полном соответствии с теоремой Штурма [4]. Мы не будем вводить специальные обозначения для нового определения функции N_n (r).

Мы изложили схему построения физического решения. Обоснование ее должно опираться на теорию обобщенных функций, что выходит за рамки нашей статьи.

Соотношения для бесселевых функций целого индекса (физические решения) при изменении знака аргумента приведены ниже.

J_n (- r) = (- 1)ⁿ J_n (r); N_n (- r) = (- 1)^{n+ 1} N_n (r);

H⁽¹⁾_n (- r) = H⁽²⁾_n (r); H⁽²⁾_n (- r) = H⁽¹⁾_n (r)

В этой связи мы можем использовать не только традиционные области определения переменных в цилиндрической системе координат: z (- ∞ ÷ ∞); r (0 ÷ ∞); ϕ (0 ÷ 2π), но и, например, такие: z (- ∞ ÷ ∞); r (- ∞ ÷ ∞); ϕ (0 ÷ π).

Рассмотрим цилиндрическую волну, сходящуюся в начале координат плоскости (r; ϕ) и расходящуюся после прохождения начала. Как и в случае сферических волн никаких скачков фазы при прохождении волной начала координат не образуется. Это можно показать тем же способом, что и для сферической волны.

Замечание. Аналогичным образом можно построить фундаментальную систему из четной и нечетной функций и для мнимых значений r. Здесь имеется возможность продолжить в некотором смысле аналогию с тригонометрическими и гиперболическими функциями.

15.8 Скачки фазы в каустиках и фокусе

Из дифференциальной геометрии известно, что всякая поверхность имеет для каждого своего бесконечно малого элемента два, в общем случае, различных радиуса кривизны. Как показано на рис. 15.7, линии aОc и bОd есть главные круги кривизны с радиусами кривизны R₁ и R₂ , центры кривизны которых расположены в точках О₁ и О₂.

С точки зрения геометрической оптики интенсивность волнового потока будет обращаться в бесконечность в центрах кривизны О₁ и О₂. Отталкиваясь от элемента поверхности и переходя ко всей волновой поверхности, можно утверждать, что интенсивность волнового потока будет бесконечно возрастать, вообще говоря, на двух поверхностях, которые являются геометрическим местом кривизны волновой поверхности. Эти поверхности носят название каустик. В частном случае, когда поверхность имеет сферический фронт, обе каустики сливаются в точку, которая именуется фокусом. В случае цилиндрического волнового фронта каустики вырождается в линию.

Рис. 15.7

Конечно, бесконечное возрастание интенсивности при прохождении каустики или при прохождении фокуса есть «огрех» геометрической оптики как предела волновой. На самом деле плотность потока в этих случаях действительно сильно возрастает, но, как мы убедились, не до бесконечности.

Рассмотрим более важный для нас вопрос о скачках фазы. Обратимся к доказательству, приведенному в монографии [6]. Цитируем:

«Если плоскости XY и XZ выбраны совпадающими с главными плоскостями кривизны волновой поверхности в точке 0, то вблизи этой точки уравнение поверхности есть

y 2 z 2

X = +

2R₁ 2R₂

где R₁ и R₂ - главные радиусы кривизны. Расстояние же R от точки волновой поверхности с координатами X, y, z до точки Р с координатами x, 0, 0 есть

2 2

^{2 2 2} y 1 1 z 1 1

R = (X − x) + y + z ≈ x + ( − )+ ( − )

2 x R₁ 2 x R₂

Вдоль волновой поверхности поле u можно считать постоянным; то же касается множителя 1 / R. Поскольку мы интересуемся только изменением фазы волны, то коэффициент опускаем и пишем просто

1 ikR eikx ∞ ik y22 ( 1x−R11 ) eikx ∞ ik z22 ( 1x−R12 )

u_P ∝

∫e df_n ≈ _i −^∫∞e dy _i −^∫∞e dz (59,3)

_i

Центры кривизны волновой поверхности лежат на рассматриваемом луче в точках x = R₁и x = R₂ ; это и есть точки касания лучом каустик. Пусть R₂ < R₁. При x < R₂коэффициенты при i в показателях подынтегральных выражений в обоих интегралах (по dy и dz) положительны, и каждый из этих интегралов пропорционален (1+ i). Поэтому на каждом участке луча до касания первой каустики имеем u_P ∝ e^ikx. При R₂ < x < R₁, т.е. на отрезке луча между двумя точками касания, интеграл по dy пропорционален (1+ i), а интеграл по dz пропорционален (1- i), так что их произведение не содержит i. Таким образом имеем здесь u_P ∝ - i e^ikx, т.е. при прохождении луча вблизи первой каустики фаза дополнительно меняется на - π / 2. Наконец, при x > R₁имеем u_P ∝ - e^ikx = e^{ikx + iπ}, т.е. при прохождении луча вблизи второй каустики фаза еще раз меняется на - π / 2.».

Покажем теперь ошибку.

Величина R = (X − x) ² + y ² + z ² всегда положительна. Поэтому приближенное выражение в отличие от цитированного выше должно иметь следующий вид

R =

) ≥ 0

По этой причине интеграл (59,3) не может изменять фазу скачком на - π / 2 при касании каустики. По той же причине волна не может испытывать скачок фазы на - π при прохождении фокуса даже в рамках геометрической оптики.

Краткие выводы

a. Решения, выражаемые через функции Ганкеля, содержат «скрытые» источники поля. Последние возникают благодаря наличию сингулярностей в однородных уравнениях

Бесселя или в уравнениях сводимым к ним. По этой причине требуется корректное (физически интерпретируемое, а не формальное) использование этих функций.

b. Учет «скрытых» источников однородных уравнений (возникающих из-за

сингулярностей в коэффициентах уравнений) позволяет дать физически ясное объяснение волновым процессам и упростить в некоторых случаях постановку задачи и ее решение.

c. Помимо этого, показана возможность построения решений для области отрицательных

значений радиуса как в цилиндрической, так и в сферической системах координат.

d. Дан анализ причины, по которой определитель Вронского для уравнения Бесселя

считается нечетной функцией аргумента. Рассматривается возможность построения такой фундаментальной системы, в которой этот определитель становится четным, что важно для построения решений в цилиндрической системе координат.

e. Полученные результаты позволяют изучать особенности потенциала волны в

окрестности фокуса (каустики). Анализ поведения волны в окрестности фокуса (каустик) показал, что при прохождении фокуса (или касания лучом каустики) волна не испытывает скачка фаз. Решение в этой области непрерывно вместе со своей первой производной. Утверждения типа: «волна при прохождении фокуса изменяет фазу на - π» - некорректны как с физической точки зрения, так и с математической (т.е.

ошибочны).

f. Рассмотрен физический смысл задачи по определению потенциала внутри замкнутого объема по заданному потенциалу и его нормальной производной на поверхности, ограничивающей объем. Рассмотрена подробно задача для сферической поверхности. Показано, что формула Кирхгофа имеет несколько вариантов, физический смысл которых рассматривается.

15.9 Определение потенциала поля внутри сферы

Плоский случай. Рассмотрим бесконечно малый элемент поверхности. Его можно считать плоским. Пусть на поверхности задан потенциал и задана нормальная производная этого потенциала. Поскольку поверхность элемента мала, потенциал и его производную можно считать постоянными, а поле вблизи этой поверхности можно представить как сумму двух плоских волн, распространяющихся в противоположных направлениях коллинеарно нормали. Потенциал удовлетворяет уравнению Δu = 0.