Анализ классической электродинамики и теории относительности (стр. 51 из 54)

Рис. 15.6 Иллюстрация к функциям Ганкеля

С этой физической точки зрения использовать функции N_ν и H_ν следует осмотрительно.

Все волновые решения в свободном пространстве всегда могут быть выражены формулой

u

n _m kr

Эту формулу можно рассматривать как суперпозицию полей, создаваемых излучающими и поглощающими мультипольными источниками, когда эти источники одной природы как бы взаимно уничтожают («гасят») друг друга, но их поля, распространяющиеся в противоположных направлениях, сохраняются.

15.4 Поведение волны в окрестности фокуса

Теперь мы можем вернуться к первому параграфу «Постановка задачи».

Пусть мы имеем волновой поток, сходящийся в фокус в начале координат (15.2.2). Не ограничивая общности рассуждений, будем считать его симметричным, независимым от угла ϕ. Окружим начало координат сферической поверхностью радикса R. Будем также считать, что внутренняя поверхность тонкой линзы также сферическая, и выбранная нами сфера касается этой поверхности. Дифракционные явления на краях линзы мы рассматривать не будем. Нас будет интересовать потенциал внутри сферы.

Общее поле внутри сферы можно представить в виде суммы полей, бегущих к центру (к «скрытым» поглощающим мультипольным источникам) и суммы полей, убегающих от центра (от «скрытых» излучающих мультипольных источников). Опираясь на принцип суперпозиции, рассмотрим волну, идущую к центру (к поглощающим источникам).

an

u1 = ∑H nn+1/ 2 (kr)Pn (cosθ) n kr

Распределение амплитуды синфазного потенциала на поверхности линзы определяется выражением

aⁿ

u₁ = ∑H _{nn+1/ 2} (kr)P_n (cosθ)=U ₀ (θ)

n krr=R

где U₀ (θ) – комплексная амплитуда потенциала. Она отлична от нуля на внутренней поверхности линзы и равна нулю на остальной поверхности.

Найдем коэффициенты a_n в этом выражении. Опираясь на ортогональность полиномов

Лежандра, можно записать

(2n +1) kR ¹ a_n ⁼ (₂) ^∫U ₀ (arccosx)P_n (x)dx

_H n+1/ 2 _(kR) −1

Итак, для волны, идущей к началу координат мы имеем

R H (2) (kr) 1

u₁ = ^∑n _{r H} n+1/ 2 _(kR) −1 (arccosx)P_n (x)dx (15.4.1)

Теперь запишем волну, уходящую из начала координат. Ее можно получить, заменив r на –r , а θ → π - θ и преобразуя полученное выражение.

Теперь осталось записать суммарное решение

u¹ + u² R J ^{n+1/ 2} (kr) ¹

u = = ^∑(2n +1) _{r H} n(₂+1) / 2 _(kR) P_n (cosθ)−^∫1U ₀ (arccosx)P_n (x)dx (15.4.2)

₂ n

Как можно заметить, потенциал u непрерывен вместе со своей первой производной, а каких-то скачков фазы нет и быть не может. Характер изменения потенциала иллюстрируется рис. 15.1.

В частности, если мы рассмотрим плоскую волну в сферической системе, то при сколь угодно большом радиусе сферы (R → ∞) потенциал можно записать как u = U₀ exp(ikz) = = U₀ exp(ikrcosθ). Следуя приведенной выше методике, можно получить хорошо известное выражение для плоской волны, бегущей против оси z.

∞

u =U 0eikz =U 0eikr cos θ =U 0∑in (2n +1)J n+1/ 2 (kr)Pn (cosθ)

n=0

15.5 Вронскиан функции Бесселя

Как мы обещали, перейдем теперь к цилиндрической системе. Однако прежде сделаем небольшое замечание. Как известно, фундаментальное решение уравнения Бесселя индекса ν

d ² R(z) dR(z) ₂

₂ + +[1− (ν / z) ]R(z) = 0 (15.5.1) dz zdz

есть

R(z) = C₁ J_ν(z) + C₂ N_ν(z)

где J_ν (z) и N_ν (z) – функция Бесселя и функция Неймана.

Запишем определитель Вронского [5] для уравнения (15.5.1)

1

W(z) = Ce⁻∫ z^dz = Ce−ln z

где С некоторая константа, которая выбирается из определенных соображений.

Итак, мы показали, что W (z) есть четная функция независимой переменной. В то же время, в современной математической литературе [3] вронскиан уравнения Бесселя также не зависит от индекса ν, но оказывается пропорциональным не 1/ z , а 1/z, т.е. является нечетной функцией z. Для положительных значений аргумента z вещественной оси такое представление не имеет значения. Однако для отрицательных значений вещественной оси (равно как и для комплексных) это весьма принципиально.

15.6 В каких случаях вронскиан является четной (нечетной) функцией?

Рассмотрим общий случай, т.е. линейное дифференциальное уравнение второго порядка, сохраняющее свой симметричный вид относительно замены положительного аргумента на отрицательный аргумент. Такое уравнение имеет вид y''+p(z)y'+q(z)y = 0 (15.6.1)

В силу выбранного нами типа уравнений, коэффициент p есть нечетная функция, а q четная функция переменной z.

Рассмотрим теперь случаи, в каких случаях вронскиан уравнения (15.6.1) является четной, а в каких - нечетной функцией. Для этого запишем определитель Вронского в следующей форме

^{' ' 2} d y²

W(z) = y₁ y₂ − y₂ y₁ = y₁

(15.6.2) dz y₁

где функции y₁(z) и y₂(z) образуют фундаментальную систему решений уравнения

(15.6.1).

Выберем в качестве y₁(z) и y₂(z) такие функции, которые были бы четными (нечетными) относительно знака z. Это следует из четности уравнения (15.6.1).

Здесь возможны два варианта:

f. Функции y₁(z) и y₂(z) являются одновременно четными или же нечетными.

g. Одна из функций (y₁(z) или y₂(z)) является четной, а вторая – нечетной.

Нетрудно видеть, что в первом случае отношение y₂(z) / y₁(z) является четной функцией. Следовательно, определитель Вронского будет нечетной функцией z. Во втором случае это отношение будет нечетной функцией z. По этой причине вронскиан останется четной функцией.

Итак, чтобы определитель Вронского был бы четной функцией z, необходимо и достаточно, чтобы фундаментальная система решений могла быть представлена в виде четной и нечетной функций. Общее решение уравнения (15.6.1), составленное из такой фундаментальной системы, мы назовем физическим решением.

15.7 Физическое решение

Запишем уравнение Бесселя для цилиндрической системы отсчета d ² R(r) dR(r) ₂

₂ + +[1− (n/ r) ]R(r) = 0 dr rdr

Из уравнения следует, что в начале координат имеет место особенность (сингулярность).

Для положительных значений r общее решение уравнения Бесселя имеет вид

R(r) = C₁ J _n (r) + C₂ N_n (r)