Анализ классической электродинамики и теории относительности (стр. 44 из 54)

0

= 2cρU ₀ = mV₀ = const

Величина силы зависит только от параметров струны и скорость шарика

∂U −λt / m

F = λ = −2 ρT0V0e

∂t

Итак, кинетическая энергия механического движения шарика преобразуется в волновую энергию струны, распространяющуюся от шарика.

Как нетрудно заметить, процесс передачи энергии от материального тела к волне носит диссипативный характер. Кинетическая энергия шарика преобразуется в энергию колебания струны и уже больше не возвращается шарику. Такой процесс характерен не только для механических волн, но и для любого волнового процесса, в том числе и для электромагнитных волн. Например, излучение диполя Герца также диссипативный процесс. Энергия, подводимая к диполю от генератора, уносится в бесконечность со скоростью света и уже не возвращается обратно в генератор.

Приложение 1

Некоторые читатели наших статей просили объяснить, в каких случаях полную производную по времени можно заменить частной производной. Покажем это на примерах. Обратимся к рис. 13.2. Рассмотрим удар клюшкой по шайбе.

Рис. 13.2

1. Если шайба несжимаемая, а удар центральный, то из-за сил трения шайба будет двигаться замедленно. Все точки шайбы имеют одинаковые скорости и ускорения, а шайбу можно рассматривать как материальную точку. В этом случае полную производную можно заменить частной 13.2 (1). Шайбу можно рассматривать как материальную точку.

2. Если мы по несжимаемой шайбе наносим удар не по центру, шайба будет перемещаться по дуге, вращаясь, как показано на рис. 13.2 (2). Здесь каждая точка шайбы будет иметь свою скорость, и мы уже не сможем описать движение шайбы как материальной точки. Мы должны учитывать энергию вращательного движения. А это можно сделать только с помощью полной производной.

3. То же положение имеет место при центральном ударе по упругой шайбе. Она будет двигаться с замедлением, обусловленным трением, одновременно совершая упругие колебания (периодически сжимаясь в одном направлении и растягиваясь в другом), как показано на рис. 13.2 (3).

Итак, в тех случаях, когда материальный объект можно заменить материальной точкой, мы можем использовать частную производную. Это касается также потока материальных частиц, между которыми отсутствует взаимодействие или по условиям задачи таким взаимодействием можно пренебречь. Когда же мы рассматриваем непрерывную среду, точки которой связаны между собой взаимодействием, мы обязаны использовать полную производную по времени.

13.2 Краткие сведения из теории длинных линий

Теперь мы рассмотрим пример из электродинамики. Мы будем исследовать разряд конденсатора на длинную линию, которая будет иметь свойства «эфира». Простейшими длинными линиями, в которых может распространяться волна со скоростью света, являются линии, в которых распространяется волна типа ТЕМ (поперечная электромагнитная волна). К ним относятся двухпроводные линии и коаксиальные линии. В этих линиях поля Е и Н имеют специфическую форму. Пусть волны распространяются коллинеарно проводникам, ориентированным вдоль оси z. Поля будут перпендикулярны этой оси, т.е. направлению распространения волны.

E = E(x; y)[ f₁(t − z /c) + f₂ (t − z /c)]

H = H(x; y)[ f₁(t − z /c) + f₂ (t − z /c)]

Такую волну можно однозначно описать «квазистатическими методами», т.е. с помощью токов и напряжений в этой линии. Это упрощает выкладки и делает процесс анализа более наглядным.

Итак, рассмотрим двухпроводную линии, в которой существует емкость между проводниками и индуктивность проводников. Эти реактивности характеризуются

~

параметрами: погонной емкостью на единицу длины C [Ф/м] и погонной индуктивностью

~

L [Гн/м]. Однако более удобно использовать производные от этих параметров

1.

Скорость распространения волны в линии c =1/ L^~C^~ .

2.

Волновое сопротивление линии w = L^~ /C^~ .

Соответственно, погонные параметры легко выразить через эти величины

~ ~

L = w/c; C =1/ wc

Запишем теперь уравнения и основные соотношения для длинной линии для токов и напряжений.

Рис. 13.3

∂u ~ ∂i w ∂i ∂i ~ ∂u 1 ∂u

= L = ; = C =

∂z ∂t c ∂t ∂z ∂t cw ∂t

Исключая ток или напряжение, получим

∂²u 1 ∂²u ∂²i 1 ∂²i

2 − 2 2 = 0; 2 − 2 2 = 0

∂z c ∂t ∂z c ∂t

Энергия поля на единицу длины равна

∂W ~ i2 ~ u 2 1 2 2

= L + C = [u + (wi) ]

∂z 2 2 2cw

13.3 Разряд конденсатора на неподвижную линию

Рассмотрим бесконечную двухпроводную линию, к которой будет подключаться заряженный конденсатор, как показано на рис. 13.4.

Рис. 13.4

При замыкании контакта по линии потечет ток, и потенциал будет распространяться со скоростью света в обе стороны от точек подключения конденсатора.

По мере разряда конденсатора напряжение на нем будет убывать U =U 0e−λ0t , где λ₀ параметр.

Энергия конденсатора будет также убывать по экспоненциальному закону

2 −2λ₀t

CU ⁰ e

W_C =

2

Запишем закон изменения потенциала в линии

U =U₀e^{−(t−z/c)λ0} (1−η(z − ct)) ct > z > 0

U =U₀e^{−λ(t+z/c)λ0}η(z + ct) − ct < z < 0

⎧1 ξ> 0

η(ξ) = ⎨

⎩0 ξ< 0

Распространение потенциала в линии показано на рис. 13.5.

Рис. 13.5

Подсчитаем теперь энергию, которую уносит с собой распространяющийся потенциал, учитывая симметричный характер потенциала.

1 0 2 2 1 ct 2 2 СU 02 −2λ0t

W =

^∫[u + (wi) ]dz + 2cw ^∫0 [u + (wi) ]dz = w_λ [1− e ]

2cw −ct где: i = u / w – для волны, бегущей вдоль оси z; i = - u / w для волны, бегущей против оси z.

Очевидно, что суммарная энергия (энергия конденсатора и энергия в линии) должна оставаться постоянной. Учитывая это, найдем значение параметра затухания λ₀ λ₀ = 2 / Cw.

Итак, напряжение на конденсаторе будет равно U =U ₀e^{−2t / wC} . Ниже мы рассмотрим процессы для случаев, когда конденсатор движется вдоль оси z с постоянной скоростью.

13.4 Конденсатор, движущийся относительно линии

В «эфирной» модели скорость распространения волны постоянна относительно неподвижного «эфира», с которым в нашем случае связана длинная двухпроводная линия (абсолютная система отсчета).

Обозначим скорость движения конденсатора относительно линии как V. Поскольку конденсатор движется относительно неподвижной линии («эфира»), а скорость волны относительно эфира неизменна, мы получим следующие выражения в системе отсчета связанной с «эфиром» (линией).

t−z / c −