Анализ классической электродинамики и теории относительности (стр. 43 из 54)

Сначала мы сделаем следующие промежуточные вычисления

a) δds = −dx_iδdx_i /ds = −u_iδdx_i (П.11.6)

δu_i = δ(dx_i /ds) = (dsδdx_i − dx_iδds)/ds² =

б) (П.11.7)

= (dsδdx_i + dx_idx_kδdx_k )/ds²

Учитывая (П.11.6) и (П.11.7), получим:

s

² ⎡∂L ⎛ ∂L ∂L ⎞ ⎤

δS = ^∫s1 ⎢⎣ δx_ids + ⎜⎜ ∂ui + ∂uk u_ku_i − Lu_i ⎠⎟⎟δdx_i ⎥⎦ = 0 (П.11.8)

∂xi ⎝

После интегрирования выражения в круглых скобках в (П.11.8) по частям находим уравнение движения:

d ⎛ ∂L ∂L ⎞ ∂L

ds ⎜^⎜_∂ui + _∂uk u_ku_i − Lu_i ^⎟_⎠⎟ = _∂xi (П.11.9) _⎝

Источники информации:

1. Г. Голдштейн. Классическая механика. – М.: Наука, 1975.

2. В.К. Пановски, М. Филлипс. Классическая электродинамика. – М: Мир, 1975.

3. Л.Д. Ландау, Е.М. Лифшиц. Теория поля. – М: Физматгиз, 1961.

4. В.А. Кулигин. Интеграл действия релятивистской механики./ Проблемы пространства, времени, тяготения. С.-Петербург.: Политехника, 1997.

Глава 13. Эфирные теории и баллистическая гипотеза Ритца

Введение

Наиболее распространенным вариантом, альтернативным СТО, являются многочисленные теории на основе эфира, как особой материальной среды. К использованию этой «среды» физиков подталкивает непонимание сути и, как следствие, отрицание мгновенных взаимодействий. Однако такие взаимодействия объективно существуют в механике Ньютона, они являются решениями уравнений Максвелла и превосходно описывают квазистатические явления электродинамики. Так неужели ради модели, кажущейся «приемлемой», неужели ради моды следует отвергать математически корректное описание физических процессов?

Эфир всегда связан с абсолютной системой отсчета. Любые взаимодействия распространяются с характеристической скоростью относительно абсолютной системы отсчета. Эта характеристическая скорость относительно эфира может быть постоянной для всего пространства или же различной для разных точек этого пространства.

Именно эта среда, по мнению сторонников эфира, является тем посредником, который передает взаимодействия от одного объекта к другому. Моделей эфира достаточно много (газоподобные, жидкостные, твердотельные и т.д.). Разнообразны и представления о свойствах эфира (неподвижный, увлекаемый и др.). Но все они принципиально отвергают мгновенное взаимодействие, характерное для механики Ньютона. Ниже мы рассмотрим некоторые математические аспекты, общие для волновых процессов при наличии эфира.

13.1 Диссипативный характер излучения

Рассмотрим математическую сторону передачи взаимодействия, не привязываясь к конкретной модели. Пусть маленький шарик массой m (материальная точка) закреплен на бесконечной натянутой струне. Этому шарику с помощью молоточка сообщается импульс p. Начальная скорость шарика равна V₀. От удара шарик начнет движение, и вместе с ним будут распространяться две поперечные волны, бегущие по оси x в разные стороны от шарика, как показано на рис. 13.1.

Рис 13.1. Распространение волн и движение шарика.

Для смещения струны от положения равновесия необходима энергия. Кинетическая энергия шарика постепенно расходуется на изменение положения элементов струны, скорость шарика уменьшается, и он постепенно останавливается. При этом струна стремится к своему асимптотическому пределу.

Запишем процесс математически.

∂V ∂V

Уравнение движения шарика: m = m − F , где U – смещение шарика; V = ∂U /∂t –

∂t ∂t

скорость шарика; F – сила, действующая на шарик со стороны струны. Здесь нет необходимости использовать полную производную, которая совпадает с частной производной (см. Приложение 1).

∂ 2U ∂ 2U

Уравнение движения струны [1]: T₀ 2 = ρ 2 − Fδ(x), где: Т₀ – натяжение струны; ρ –

∂x ∂t

линейная плотность массы струны.

Уравнение движения струны можно привести к виду

∂ 2U ∂ 2U

c 2 ₂ = ₂ − fδ(x),

∂x ∂t

где: c² = T₀ / ρ - квадрат скорости распространения волны; f = F / ρ – плотность силы, отнесенная к плотности массы струны. По аналогии с теорией длинных линий параметр (T₀ ρ) ^{- ½} можно назвать «волновым сопротивлением» струны.

Можно решить эти уравнения «в лоб» (см. [1], Задача № 9, стр. 80). Мы будем исходить из закона сохранения энергии, поскольку это нагляднее.

1. Шарик. Изменение скорости шарика происходит по экспоненциальному закону, поэтому можно предположить, что сила F пропорциональна скорости движения заряда.

∂V ∂ ²U ∂U

m = m ₂ = −F = −λ ,

∂t ∂t ∂t

где λ – некоторая постоянная.

Решение для вертикальной координаты шарика имеет вид

U = −U 0 (1− e^{−λt / m} ) (13.1.1)

Начальная скорость, импульс и кинетическая энергия шарика соответственно равны

2 2 2

−λt / m −λt / m ^W_k = U 0 λ e−2λt / m = V0 m e−2λt / m

^V₀ = −λ^U ₀ / m P = λ^U ₀e = ^mV₀e

2m 2

2. Струна. Рассмотрим теперь энергетические соотношения для струны и определим параметр λ. Мы будем исходить из того, что точка соприкосновения шарика со струной изменяет свое положение U в соответствии с выражением (1.1). Соответственно, соседние точки (х ≠ 0) будут определяться следующими выражениями

U = −U ₀ [1− e^{−λ(t−x / c) / m} ](1−η(t − x/c)) x > 0

U = −U ₀ [1− e^{−λ(t+x / c) / m} ]η(t + x/c) x < 0

⎧1 ξ > 0

η(ξ) = ⎨

⎩0 ξ < 0

Подсчитаем энергию струны, учитывая симметричность ее распределения

ct

∂U −2λt / m 2 −2λt / m Wc ⁼ ∫0 [T ⁽ _∂x ) +ρ⁽ _{∂t λm λ}

Сложим энергии струны и шарика. Учитывая закон сохранения энергии, найдем величину параметра λ.

λ = 2cρ = 2 T₀ρ

Здесь мы подобрали λ так, чтобы энергия не зависела от времени. Проверим теперь закон сохранения импульса. Суммарный импульс шарика и возбужденных элементов струны не должен зависеть от времени. Действительно

ct

−λt / m ∂U(x;t) −λt / m −λt / m

−U 0λe − 2∫ρ

∂t dx =−2cρU0e − 2cρU 0 (1− e ) =