Анализ классической электродинамики и теории относительности (стр. 42 из 54)

С другой стороны, изменение 4-отрезка в рамках преобразования Лоренца не может быть произвольным. Существует жесткое условие:

x_k = α_kix_i (12.3.7) где α_ki – матрица преобразования Лоренца или обобщенного преобразования.

Из (12.3.7) следует, что длины сравниваемых отрезков (как истинные скаляры) должны быть равны друг другу, т.е. s(k) = s(i).

Сравнивая это соотношение с выражением (12.3.6), получим x_iδx_i = 0. Иными словами, вариация δx_i всегда должна быть ортогональна 4-вектору x_i. Это соответствует обычному повороту 4-вектора в 4-пространстве или переводу 4-вектора из одной инерциальной системы отсчета в другую.

Рис. 12.1

Пределы интегрирования s₁ и s₂ представляют собой две концентрических 4-поверхности, в которые «упираются» концы траектории частицы. При варьировании траектории эти концы свободно скользят по указанным поверхностям. Сама же траектория не претерпевает никаких изменений. Она вращается в 4-пространстве. В классическом интеграле действия концы траектории жестко «зафиксированы» в точках t₁ и t₂, а траектория изменяется.

Математический формализм Специальной теории относительности часто именуют «теорией инвариантов». В классической теории интеграл действия инвариантен относительно преобразования Галилея. Именно релятивистские инварианты (относительно преобразования Лоренца) являются слагаемыми современной формы релятивистской функции Лагранжа. Как известно, любой релятивистский инвариант сохраняет неизменным свое значение при повороте в 4-пространстве (при переходе из одной инерциальной системы в другую). Следовательно, вариация любого инварианта, образованного 4-вектором, всегда ортогональна этому 4-вектору. Например, вариация квадрата 4-вектора скорости (инвариант) равна нулю.

δu_i² = 2u_iδu_i = 2δ(−1) = 0

Таким образом, изменение релятивистского интеграла действия всегда равно нулю не в силу произвольности вариации, а в силу ортогональности 4-вариации уравнению движения. Это справедливо для каждого релятивистского инварианта.

Чтобы подтвердить этот вывод, запишем из [3] конечное выражение, из которого получают формулу Лоренца.

s2 s2

δS = ∫s1 ⎡⎢⎣− mc ^dui + e^⎛⎜ ^dAk − ^dAi ⎟⎟^⎞⎥⎤δx_ids =^∫1 ⎡^⎢− mc ^dudsⁱ + e⎜⎝^⎛⎜ ^dAdx^ki − dx^dAk^{i ⎞}⎟⎟⎠⎦^⎥⎤u_iδsds (12.3.8)

ds ⎝⎜ dxi dxk ⎠⎦ s ⎣

Убедимся, что вариация интеграла равна нулю не в силу произвольности δx_i.= u_i δs, а в силу ортогональности уравнения движения (выражение в квадратных скобках) и δx_i.

2

duⁱ d(uⁱ ) d ^{⎛ 1 ⎞}

a) − mc

u_i = −mc = mc ⎜ ⎟ = 0 ds 2ds ds ⎝ 2⎠

(12.3.9)

b)

e⎛⎜ dAk dAi ⎞⎟⎟uiuk = e⎜⎜⎛ dAdxki uiuk − dxdAki uiuk ⎟⎠⎞⎟ = ⎜⎜⎝⎛ dxdAki ukui − dxdAki uiuk ⎠⎟⎟⎞ = 0

⎜ dxi − dxk ⎠ ⎝

⎝

В выражение (12.3.9) входят скалярные слагаемые, и мы имеем право заменить одновременно индексы i на k, а k на i в первом слагаемом. Именно благодаря ортогональности мы получаем счетное множество уравнений движения, поскольку к любому уравнению движения мы можем добавить произвольное слагаемое, ортогональное к δx_i. Вариация интеграла действия от этой процедуры не изменится и будет всегда равна нулю.

Обобщение. Рассмотренные выше выводы оказываются справедливыми и для интегралов действия, использующих плотность функции Лагранжа для получения уравнений полей.

^{1 ⎛ ∂Ai ⎞}⎟

S = ic ∫Λ⎜⎜⎝∂xk ; A_i; ...⎟⎠dΩ (12.3.10)

где: Λ – плотность функции Лагранжа; dΩ – элементарный 4-объем (dx·dy·dz·icdt).

Как мы писали выше, вариация любого инварианта, входящего в функцию Лагранжа, всегда ортогональна к вектору, образующему инвариант. Приведем примеры. Инвариант мы будем обозначать символом I.

2 2

⎛⎝ ∂Ai ⎞⎟⎟ ; δ⎛⎜⎜ ∂∂xAki ⎟⎟⎠⎞ = 2 ∂∂xAki δ ∂∂xAki = δI1 = 0 и т.д.

I1 = ⎜⎜ ∂xk ⎠ ⎝

I₂ = F_ik^[1]; δF_ik² = 2F_ikδF_ik = δI₂ = 0 где F_ik – тензор электромагнитного поля.

Неоднозначность уравнений движения можно проиллюстрировать, сравнивая вариацию одного и того же инварианта в разных формах его записи.

I = j_k A_k ; δI = j_kδA_k = 0

I = 5 j_k A_k -4I; δI = 5j_kδA_k -4δI = 5 j_kδA_k = 0 где j_k не зависит от A_k.

Мы видим различные коэффициенты при произведении j_k δA_k.

Следовательно, уравнения для электромагнитных и гравитационных полей, которые были получены с помощью «релятивистского принципа наименьшего действия», неоднозначны, а потому весьма сомнительны. Неоднозначными являются и законы сохранения. «Блестящий математический формализм», которым всегда так гордились апологеты релятивистских теорий, на деле оказывается некорректным. Мефистофель, видимо, решил посмеяться над незадачливыми физиками-позитивистами.

Приложение 1.

Доказательство нового уравнения движения Рассмотрим первый вариант. [1], [2].

s

δu_i = δ(dx_i /ds) = (dsδdx_i − dx_iδds)/ds² = δdx_i /ds (П.11.2) Теперь, после интегрирования выражения (П. 11.1) по частям, получим

s2 s₂

∂L ⎡∂L d ∂L ⎤

dS = δx_i ⁻ ∫ ⎢ ⁻ _⎥δx_ids = 0 (П. 11.3) ∂u_i s1 s1 ⎣∂x_i ds ∂u_i ⎦

Первый член в правой части равен нулю, поскольку концы траектории закреплены и вариация в конечных точках должна быть равна нулю. В силу произвольности δx_i выражение в квадратных скобках под интегралом должно быть равно нулю. d ∂L ∂L

= (П.11.4) ds ∂u_i ∂x_i

Это есть уравнение движения для первого варианта.

Теперь рассмотрим второй вариант [3].

Запишем вариацию интеграла действия для этого случая.

s₂ s

² ⎡ ∂L ∂L ⎤

δS = ∫(dsδL + Lδds) =∫ ⎢ds

δx_i + ds δu_i + Lδds_⎥ =0 (П.11.5) s1 s1 ⎣ ∂xi ∂ui ⎦