Анализ классической электродинамики и теории относительности (стр. 41 из 54)

L = + eu_i A_i (12.2.5) 2

где: е и m заряд и масса заряда соответственно; A_i – 4-потенциал электромагнитного поля.

Используя уравнение (12.2.4), нетрудно найти следующее уравнение движения для заряда:

dsd ( 2 ) ⎛ ∂Ai ∂Ak ⎞⎟⎟uk (12.2.6)

m0c ui = e⎜⎜∂xk − ∂xi ⎠

⎝

Это и есть релятивистское уравнение движения, которое при v << с переходит в известное классическое уравнение: dv dA

m

= −egradφ− e + ev×rotA, dt dt где А и φ – потенциалы электромагнитного поля; v – скорость заряда.

Казалось бы, все прекрасно, но существует обстоятельство, свидетельствующее не в пользу этого варианта. В СТО есть одно важное тождество

(u_i )² +1= u_t² − u_x² − u²_y − u_z² +1= 0 (12.2.7)

Учитывая это соотношение, можно показать, что выражение (12.2.5) фактически не соответствует своему классическому аналогу.

m⁰c²

L₁ = − + eu_i A_i = L (12.2.8)

2

Очевидно, что из него мы не можем получить уравнение движения (12.2.6).

Более того, мы можем записать много других новых функций Лагранжа, которые равны предшествующей функции Лагранжа (12.2.5), и из них мы можем получить много других различных уравнений движения. Например, пусть функция Лагранжа равна:

1 2 2K K+1 2N+1 N ( 2 ) m0c2ui2

L₂ =

m₀c u_i (−1) + eu_i (−1) A_i + u_i +1Φ(x_i ,u_i ) = L = + eu_i A_i (12.2.9)

2 2

где: N и K – некоторые положительные целые числа (N, K = 0; 1; 2;...); Ф (x_i; u_i) – произвольная скалярная функция, зависящая от ; x_i и u_i.

Теперь уравнение движения будет отлично от (12.2.6).

dsd [ ² ] ⎛⎝ ∂Aⁱ ∂A^m ⎞⎟_⎟u_m (12.2.10) m₀c Ku + 2NeA_i + 2Φ(x_i,u_i )u_i = e⎜_⎜∂xm − _∂xi _⎠

Итак, мы можем получить много различных уравнений движения, изменяя K, N и Φ. Почему – это имеет место?

Возможно, что переменная s в СТО не может рассматриваться как независимая переменная подобно t в механике Ньютона. С одной стороны, s зависит от x_i (2.2), с другой, x_i должен зависеть от s (12.2.3). Благодаря этому, требование для вариационного исчисления нарушено. Как результат, рассмотренный вариант не может служить основой для математического формализма СТО.

В отличие от классической механики релятивистский интеграл действия дает множество различных уравнений движения, и неизвестно: какое из них отвечает объективной реальности?

Второй вариант. Другая версия интеграла действия приводится в учебнике [3]. Авторы [3] учитывают, что s зависит от x_i. Они дают новый интеграл действия:

s2 s2 s 1 ² 1 ² 1 2

S =

^∫1 (−m₀c ds + eA_idx_i ) = _c ^∫s1 (−m₀c + eA_iu_i )ds = _c ^∫s1 Lds (12.2.12) _c s

Теперь правильный классический предел имеет место:

t₂ 2

⎛ m⁰v ⎞⎟⎟dt (12.2.13) S = ^∫1 ⎜⎜⎝ 2 − eϕ + ev⋅A⎠

t

Однако здесь мы сталкиваемся с другой проблемой. Новая общая форма уравнения движения отличается от классической (см. Приложение 1). Более того, нарушение единственности решения также имеет место

d ⎛ ∂L ∂L ⎞ ∂L

⎜⎜∂ui − Lui + ∂uk ukui ⎟⎠⎟ = ∂xi (12.2.14)

ds ⎝

Итак, второй вариант также имеет трудности:

1. Основная форма уравнения движения отличается от классической.

2. Мы имеем бесконечный ряд уравнений движения.

12.3 Ортогональность, но не произвольность

Чтобы понять причины неудач релятивистского обобщения интеграла действия, рассмотрим общий вид вариации интеграла действия для двух вариантов.

Первый вариант [1], [2]. Он определяется условием δds = 0.

s2 s2 s

2 dL

δS = δ∫₁ Lds =∫s1 δLds = ∫s1

ds δsds (12.3.1)

s

dL ∂L du_i ∂L ∂L

где = + u_i + ds ∂u_i ds ∂x_i ∂s

Проинтегрируем выражение (12.3.1) по частям.

s₂

s² δS = Lδs

s1 − ∫ Ldδs = 0 (12.3.2)

s₁

Первый член правой части равен нулю, поскольку концы траектории s₁ и s₂ жестко фиксированы и вариация в этих точках равна нулю по условиям вариации. Интеграл также равен нулю в силу соотношения δds = 0.

Отсюда следует, что интеграл действия не имеет экстремумов. Его значение зависит только от пределов интегрирования и не зависит от формы траектории частицы. Принцип наименьшего действия не имеет места.

Второй вариант [3]. В этом варианте вариация δds ≠ 0. Запишем вариацию интеграла действия для этого варианта.

s2 s2 s2

δS = δ∫s1 Lds =∫s1 (δLds + Lδds)= _∫s1 ⎜^⎛⎝

^dLds δsds + Lδds^⎞⎟⎠ (12.3.3)

Как и в предыдущем случае, мы проинтегрируем первый член в интеграле действия по частям.

s₂

s² δS = Lδs

s1 + ∫(−Ldδs +Ldδs) = 0 (12.3.4)

s₁

Очевидно, что первый член правой части равен нулю по указанным ранее причинам, а второй должен быть тождественно равен нулю по результату интегрирования.

Следовательно, для второго варианта справедливы те же выводы. Интеграл действия для второго варианта не имеет экстремумов. Его значение зависит только от пределов интегрирования и не зависит от формы кривой. Принцип наименьшего действия не имеет места.

Теперь нам необходимо понять причину постоянства интеграла действия. Рассмотрим изменение длины отрезка x_i при бесконечно малой вариации δx_i и δs_(i) = − (δx_i )² ≠ 0.

x_k = x_i + δx_i (12.3.5) Вычислим длину отрезков.

s_{(k )} = s_(i) − x_iδx_i (12.3.6)