Анализ классической электродинамики и теории относительности (стр. 40 из 54)

Это согласуется с принципом Галилея-Пуанкаре.

Рассмотрим две инерциальные системы отсчета К и К', которые движутся друг относительно друга с галилеевской скоростью V. Пространственно-временные координаты системы К (x;y;z;ct) должны быть связаны с соответствующими координатами К' (x';y';z';ct') с помощью матрицы преобразования T(V/c).

X' = T(V/c)⋅ X (11.4.1)

где: X и X' - вектор-столбцы 4-координат систем K и K'; Т(V/c) - матрица преобразования, зависящая только от скорости относительного движения сравниваемых инерциальных систем.

К матрице Т предъявляются следующие требования:

c. Определитель матрицы должен быть равным единице; det T = 1.

d. Должна существовать матрица обратного преобразования для перехода из K' в K, т.е. матрица Т^-1(V/c).

e. Матрица обратного преобразования должна получаться заменой V на -V в матрице

T(V/c). Это следует из равноправия инерциальных систем отсчета T(V/c)^-1 = T(-V/c).

Из этих условий можно определить общий вид матрицы преобразований координат и времени, сохраняющей инвариантную форму уравнений Максвелла. Уравнения (4.1), удовлетворяющие сформулированным условиям, можно записать в следующей форме:

x = x' 1+ f ² (V / c) − ct' f (V / c); y = y';

(11.4.2) z = z'; ct = ct' 1+ f ² (V / c) − x' f (V / c)

где f(V/c) есть некоторая нечетная функция относительно V/c.

Выражение (11.4.2) есть обобщенное преобразование. При малых V/c функция f ≈ V/c.

Перечисленных выше условий не достаточно, чтобы определить явный вид функции f(V/c). Она может быть V/c, или sin(V/c), или sh(V/c) и т.д. В частном случае, когда

f = v/ c ² − v ² , мы получаем преобразование Лоренца. Если же f = V/c , то получим

модифицированное преобразование. При малых значениях V/c эти функции стремятся к

V/c.

К сожалению, сейчас не ясно: какой вид имеет функция f(V/c)? Экспериментальных исследований никем не проводилось.

Заметим, что помимо рассмотренных выше существуют преобразования, связанные с вращательным движением, при которых оператор волнового уравнения сохраняет свою форму. Пусть ось вращения неинерциальной системы отсчета совпадает с осью z. Преобразование для вращения вокруг оси z имеет вид:

² ct' ϕ = ϕ' 1+ f (ω₀ R / c) − f (ω₀ R / c); R R = R'; z = z';

ct = ct' 1+ f ² (ω₀ R / c) − Rϕ' f (ω₀ R / c)

где: ϕ’ - угол поворота; ω₀ - угловая скорость вращения неинерциальной системы отсчета.

Имеет ли физический смысл это преобразование, и какой? - предстоит выяснить в будущем.

Источники информации:

1. Кулигин В.А., Кулигина Г.А.,.Корнева М.В. Преобразование Лоренца и теория познания. / Воронеж. ун-

т. - Воронеж, 1989. Деп. в ВИНИТИ 24.01.89, № 546.

2. Кулигин В.А., Кулигина Г.А.,.Корнева М.В. От явления к сущности теории относительности http://nt.ru/tp/ns/ys.htm

3. Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. Теория поля. - М.: Физматгиз, 1961.

4. Мамаев А.В.. Высшая физика. (Эксперимент на электронном синхротроне АРУС) http://www.acmephysics.narod.ru/b_r/r10.htm

5. Кристиан Маршаль. Решающий вклад Анри Пуанкаре в специальную теорию относительности (Перевод с английского Ю. В. Куянова). Препринт ИВФЭ, - Протвино, 1999.

Глава 12. «Вариационный» принцип релятивистских теорий

Введение

В современной физической литературе очень часто говорится о «блестящем математическом формализме», положенном в основу релятивистских теорий и, в частности, в основу Специальной теории относительности (СТО). Механика СТО разрабатывалась как обобщение принципа Гамильтона для 4-пространства. Главная цель Главы 12 – провести математический анализ этого обобщения.

12.1 Классический интеграл действия

Мы начнем с краткого описания классического интеграла действия, чтобы затем использовать его для сравнения с релятивистским интегралом действия. Классический интеграл действия имеет следующий вид:

t₂

S = ∫ L(r,v)dt (12.1.1)

t₁

где L = K – U – функция Лагранжа для частицы, на которую действует внешнее поле; K – кинетическая энергия частицы и U – потенциальная энергия взаимодействия.

Заметим, что точки t₁ и t₂ жестко фиксированы. Интеграл действия имеет минимум δS = 0, если интегрирование ведется вдоль траектории частицы. Чтобы определить траекторию частицы мы должны получить из интеграла действия уравнение ее движения (уравнение Эйлера). Это уравнение ищется путем варьирования координаты частицы r так, чтобы выполнялось условие минимума интеграла действия (12.1.1): δS = 0. При этом время t рассматривается как постоянный параметр: δt = 0. Окончательная форма вариации интеграла действия имеет вид:

^t2 ⎛ ∂L d ∂L ⎞ δS = ^∫t1 ⎜_{⎝ ∂r} − _{dt ∂v} ⎟_⎠δrdt (12.1.2)

Поскольку δr это произвольная переменная, условие δS = 0 выполняется, если равно нулю подынтегральное выражение. При этом выражение в скобках в (12.1.2) и вариация независимой переменной δr не являются ортогональными по отношению друг к другу за исключением, быть может, конечного числа точек траектории. Окончательно имеем уравнение движения, определяющее траекторию частицы (12.1.3) d ∂L ∂L

= (12.1.3) dt ∂v ∂r

Интеграл действия имеет минимум, когда траектория частицы описана этим уравнением.

12.2 Интеграл действия в Специальной теории относительности

Исторически математический формализм релятивистской механики строился по образу и подобию формализма классической, опираясь на принцип соответствия между релятивистской и классической механиками при v << с и принцип наименьшего действия.

При этом по утверждению апологетов теории относительности, форма математических операторов и уравнений в релятивистской механике сохраняется, а при v << с релятивистская механика должна переходить в классическую. Поэтому форма релятивистского интеграла действия должна быть подобна (12.1.1). Как уже было установлено, такого перехода в действительности не существует.

s

1 2

S =

^∫ L(x_i,u_i )ds (12.2.1)

_c s1

где: L – функция Лагранжа для частицы, на которую действует внешнее поле; с – скорость света; x_i – 4-координата частицы (ict, x, y, z); u_i – 4-вектор скорости частицы.

ds = − (dx_i )² = c²dt² − dx² − dy² − dz² (12.2.2)

Известно, что 4-координата x_i зависит от s, и при дифференцировании ее по s мы имеем 4скорость частицы.

dxⁱ

x_i = x_i (s), u_i = = u_i (s) (12.2.3) ds

Таким образом, параметр s должен играть ту же роль, что и параметр t в классической теории.

Изучая литературу, мы столкнулись с двумя вариантами построения интеграла действия релятивистской механики, которые будут рассмотрены ниже.

Первый вариант. Он изложен в [1], [2]. Здесь параметр s подобен параметру t в классической механике. При варьировании интеграла действия он остается неизменным (δds = 0). В результате мы имеем уравнение движения частицы по форме полностью соответствующее классическому уравнению (12.1.3) (Приложение 1). d ∂L ∂L

= (12.2.4) ds ∂u_i ∂x_i

Итак, внешняя форма соблюдена, и мы можем рассмотреть ее содержание на конкретном примере. Авторы [2] для заряда в магнитном поле предлагают следующее выражение функции Лагранжа:

m0c2ui2