Анализ классической электродинамики и теории относительности (стр. 3 из 54)

Мы обращаем внимание на это потому, что при постановке физических задач начальные условия «выпадают» (их игнорируют) и возникает «произвол», который частично снимается добавочным условием. Наличие этого добавочного условия как раз и определяет характер решения при постановке физических задач.

В качестве примера можно сослаться на уравнения Максвелла в калибровке Лоренца. При решении физических задач два условия предопределяют появление мгновенно действующих потенциалов в решениях этих уравнений φv 1 ∂φ

A =

₂ ; divA + ₂ = 0 c c ∂t

Последнее условие эквивалентно уравнению непрерывности для скалярного потенциала φ

∂φ

divφv +

= 0.

∂t

Отсюда следует весьма важные выводы для решений при физической постановке задачи.

1. Для различных начальных условий решение неоднородного волнового уравнения будет различным. Этот вывод тривиален. Но мы его дополним следующим важным положением: решения неоднородного волнового уравнения в зависимости от начальных условий могут быть функционально различными. Решения могут иметь либо запаздывающий характер, либо мгновенно действующий характер (вырожденные решения).

2. Преобразование Лоренца, являясь линейным преобразованием координат и времени, не меняет функционального характера полей. Если потенциал неподвижного заряда является мгновенно действующим, то потенциал равномерно движущегося заряда также является мгновенно действующим (но никак не запаздывающим).

3. Функциональная зависимость решений волнового уравнения от выбранных начальных условий это, прежде всего, математическая задача. Именно математики должны дать ее решение. Однако в стандартных учебниках по математической физике внимания этой проблеме практически не уделяется. В результате в электродинамике существует масса проблем, связанных с «вырождением решений» и требующих анализа.

Важно отказаться от иллюзии (предрассудка), что решение волнового уравнения всегда является функцией только запаздывающих и опережающих потенциалов, а появление вырожденных членов (мгновенно действующих) в решении волнового уравнения исключено.

Итак, в зависимости от начальных условий решение волнового уравнения может быть как запаздывающим, так и мгновенно действующим (вырожденное решение).

1.4 Решения и модели

Математика хороша тем, что достаточно одного отрицательного примера, чтобы опровергнуть положение, претендующее на истину. Здесь на примере проблемы существования продольных волн в электродинамике мы покажем, что при физической постановке задачи решение волнового уравнения (например, уравнений Максвелла) зависит от выбора модели. Под моделью мы понимаем определенные положения, на основе которых дается физическое объяснение явлений.

Рассмотрим электрон, который колеблется относительно начала координат, перемещаясь вдоль оси z. Выпишем его координаты и скорость

x = 0; y = 0; z = bcosωt

v = ∂z /∂t = −bωsinωt

Вдали от точечного заряда, когда b << R , поле волны должно запаздывать и убывать обратно пропорционально R. Для простоты рассмотрим поле на больших расстояниях от заряда R >> b для нерелятивистского случая v = bω << c.

Для вычислений воспользуемся потенциалами Льенара-Виехерта e e ev ev

φ = ≈ A = ≈ (1.4.1) vR R vR cR

(R − ) c(R − ) c c

где R – радиус-вектор, проведенный из точки нахождения заряда в точку наблюдения.

Значение векторного потенциала в точке наблюдения, отстоящей от начала координат на расстоянии R , должно быть взято с запаздыванием R / c, определяемым конечной величиной скорости распространения волны.

Поскольку векторный потенциал имеет составляющую только вдоль оси z, электрическое поле, вычисленное с точностью до членов R ^-2, имеет вид

∂A^z ebω sinω(t - R/c)

E_z = - ≈ ₂ (1.4.2)

∂сt с R

Других составляющих электрического поля в этом приближении нет. Строгое решение уравнений Максвелла в калибровке Лоренца для этой задачи дает такую же картину.

Итак, заряд, колеблющийся с малой скоростью относительно положения равновесия, обладает изотропным излучением. Он равномерно излучает во все стороны, создавая как поперечные, так и продольные волны. Причем максимальная плотность потока тех и других волн одинакова (о продольных волнах см. Главу 7). Следовательно, продольные волны (если они существуют) можно достаточно просто обнаружить экспериментально! Заметим, что экспериментально таких волн обнаружено не было.

С другой стороны, имеется решение задачи об излучении диполя Герца, где продольные волны отсутствуют. Забегая вперед, скажем, что отсутствие продольных волн связано с условием, приведенным в работе [2] (Градиентная инвариантность):

«Описанная неоднозначность потенциалов дает всегда возможность выбрать их так, чтобы они удовлетворяли одному произвольному, дополнительному условию, - одному, так как мы можем произвольно выбрать одну функцию f в (8.12). В частности, всегда можно выбрать потенциалы поля так, чтобы скалярный потенциал φ был равен нулю».

Как видно из сказанного, даже в рамках одной калибровки можно получить различные по характеру, но функционально одинаковые решения (запаздывающие поля). Это, как уже говорилось, связано с определенными модельными представлениями в теории электромагнетизма.

Помимо калибровки Лоренца в электродинамике широко используется кулоновская калибровка. Формально последовательный вывод кулоновской калибровки из калибровки Лоренца дан в [4]. Логика доказательства следующая:

1 ∂ψ

Делается замена потенциалов A → A'+gradψ; φ → φ'−

. c ∂t

Показано, что при такой замене поля Е и Н сохраняются неизменными.

Заменяя в условии калибровки Лоренца не штрихованные величины штрихованными,

1 ∂φ 1 ∂ ²ψ 1 ∂φ'

находят: divA + = divA'+Δψ − ₂ ( ₂ − ) = 0 . c ∂t c ∂t c ∂t

Для получения кулоновской калибровки необходимо, чтобы выполнялось соотношение

1 ∂ ²ψ 1 ∂φ'

Δψ − 2 2 = 2 . c ∂t c ∂t

При замене потенциалов на штрихованные волновые уравнения для скалярного и векторного потенциалов (в калибровке Лоренца) преобразуются в уравнения

1 ∂ ² A' 1 ∂gradφ' ρ

Δ A'−

_{2 2} = −μ j+ ₂ ; Δ φ'= − ; divA'= 0 (1.4.3). c ∂ t c ∂ t ε

Так мы получаем кулоновскую калибровку. Кажется, что с формально-математической точки зрения здесь все корректно, и обе калибровки совершенно равноправны. Однако:

1. «Корректность» действительно существует, но только формально-символьная.

2. Автор нигде не упоминает о преобразовании начальных условий.

3. По существу поля Е и Н оказываются различными по своей функциональной структуре. Потенциал φ, например, является мгновенно действующим.

Последнее не совместимо с постулатами СТО. Поэтому не случайно В.Г. Левич, оправдываясь, пишет следующее [4]:

«При кулоновской калибровке скалярный потенциал φ’ определяется распределением зарядов так, как будто они покоились. Само собой разумеется, напряженности полей Е и Н, найденные из решений с кулоновской калибровкой и калибровкой Лоренца, совпадают».