Анализ классической электродинамики и теории относительности (стр. 26 из 54)

A = A₁ + A₂j = j₁ +j₂

2

1 ∂ A¹

ΔA₁ ⁻ _{2 2} = −μj₁ ; divA₁ = 0; divj₁ = 0;

c ∂t

1 ∂²A²

ΔA₂ ⁻ _{2 2} = −μj₂ ; rotA₂ = 0; rotj₂ = 0;

c ∂t

1 ∂²φ ρ 1 ∂φ

Δφ− _{2 2} = − ; divA₂ + ₂ = 0 (7.4.1) c ∂t ε c ∂t

где: A₁ и j₁ – вихревая составляющая векторного потенциала и вихревая составляющая плотности тока; A₂ и j₂ – соответственно безвихревые составляющие.

Любой волновой процесс описывается волновым уравнением. Он связан с переносом энергии волной. Из результатов, полученных в [1] и в Части 1, следует, что уравнениям Максвелла в калибровке Лоренца должны отвечать три потока энергии.

Первый поток – поперечные электромагнитные волны, описываемые вихревым векторным потенциалом A₁; второй – поток продольных волн безвихревого векторного потенциала A₂; третий – поток продольных волн скалярного потенциала φ.

Как было показано, закон сохранения имеет стандартный вид.

∂w

divS +

+ p = 0 (7.4.2) ∂t

где: S – плотность потока энергии; w – плотность энергии волны; p – плотность мощности сторонних сил. Значения этих величин приведены в Табл. 1.

Таблица 1. Энергетические компоненты волновых полей

Поперечные волны векторного потенциала 1 ∂ A 1 ∂

S1 = − 1 ×rotA1 w1 =

[(rotA1)2 + ( A1 )2] p1 = −j1

∂ A1 μ ∂ t 2μ ∂ ct ∂ t

Продольные волны векторного потенциала 1 ∂ A 1 ∂ A ∂ A S₂ = −

² divA₂w₂ =

[(divA₂ )² + (

² )² ] p₂ =−j₂

² μ ∂ t 2 μ ∂ ct ∂ t

Продольные волны скалярного потенциала ∂ φ ε ∂ φ ∂ φ S₃ = ε

gradφ w₃ = −

[(gradφ)² + (

)² ] p₃ = ρ

∂ t 2 ∂ ct ∂ t

Хорошо известно из экспериментов, что продольные электромагнитные волны в природе отсутствуют. По этой причине логически правильно заключить, что продольные волновые потоки S₂ и S₃ «гасят» друг друга.

В [5] было показано, что необходимым и достаточным условием взаимной компенсации этих потоков на бесконечности является

∂A² limE_L = lim(−

− gradφ) = 0 (7.4.3)

r→∞ r→∞ ∂t

Иными словами, суммарное продольное электрическое поле Е_L должно убывать быстрее, чем 1/r при r → ∞. При выполнении условия (7.4.3) энергия не уносится в бесконечность. Кажется, что это происходит благодаря интерференции продольного безвихревого поля векторного потенциала A₂ и продольного безвихревого поля, образованного потенциалом φ. Но это внешняя сторона.

На самом деле имеют место более сложные отношения. Оказывается, что такая компенсация потоков возможна в том, и только в том случае, если энергия поля скалярного потенциала отрицательна. Соответственно, отрицательной должна быть и плотность потока, образованного скалярным потенциалом, что имеет место.

Заметим, что известное решение задачи об излучении диполя Герца опирается на эти безынерциальные токи. Именно по этой причине диполь Герца не излучает продольных волн.

7.5 Источники продольных волн

Теперь мы поговорим об источниках этих волн – токах и зарядах. Продольных волн не будет, если не будет источников, возбуждающих эти волны. Нам необходимо рассмотреть правую часть уравнений Максвелла в калибровке Лоренца. Запишем для анализа необходимые уравнения.

2

1 ∂ A²

ΔA₂ − _{2 2} = −μj₂ ; (7.5.1) rotA₂ = 0; rotj₂ = 0;

c ∂t

1 ∂²φ ρ 1 ∂φ

Δφ⁻ _{2 2} = − ; (7.5.2) divA₂ + ₂ = 0 (7.5.3) c ∂t ε c ∂t

Используя идею Ландау Л.Д. [1] о возможности исключения одного из четырех уравнений (см. гл. 3, параграф 18, стр. 66), о чем говорилось в Главе 1 (векторное содержит три уравнения), можно исключить одно уравнение. Например, можно исключить уравнение для скалярного потенциала, чтобы привести два волновых уравнения (векторное и скалярное) к одному векторному.

Для этой цели продифференцируем выражение для A₂ в (7.4.1) по времени, возьмем градиент от выражения для скалярного потенциала φ в (7.4.2), а затем сложим результаты. Получим

1 ∂2EL

ΔEL − 2 2 = c ∂t

(7.5.4)

2

∂A² 1 ∂ ∂A² ∂j² 1

= Δ(− − gradφ) − _{2 2} (− − gradφ) = μ + gradρ

∂t c ∂t ∂t ∂t ε

Итак, электрическое поле, обуславливающее продольные волны вектора Е_L, описывается выражением (7.5.4). В правой части имеются источники продольного электрического поля.

Чтобы поле E_L = 0, необходимо отсутствие источников этого поля, т.

gradρ= 0 .

Помимо этого, мы должны использовать уравнение непрерывности для безвихревого

∂ρ

компонента тока divj₂ +

= 0.

∂t

Совместно оба условия приводят к следующим конечным уравнениям

2 2

1 ∂ j² 1 ∂ ρ

Δj₂ −

_{2 2} = 0 Δρ − _{2 2} = 0 (7.5.5) c ∂t c ∂t