Анализ классической электродинамики и теории относительности (стр. 25 из 54)

μ ∂x_k ∂x_k

Интегрируя по частям, получим

1

∂Aⁱ 1 ∂² Aⁱ δS = − ∫( δA_i )dS_k + ∫ [ ₂ μ ∂x_k μ ∂x_k

+ μj_i ]δA_idΩ = 0 (7.2.2)

Первый интеграл по гиперповерхности S_k обращается в нуль по тем же причинам, что и последний интеграл в выражении (7.1.3). Таким образом, мы получаем окончательное выражение для уравнений движения

∂2 A_i

= −μj (7.2.3)

2 _i

∂x_k

к которым следует добавить, как уже говорилось, уравнения непрерывности для 4потенциала поля и 4-плотности тока: ∂A_i/∂x_i = 0; ∂j_i/∂x_i = 0

Система уравнений представляет собой уравнения Максвелла в калибровке Лоренца.

∂²A ∂²A ∂²A ∂²A ∂²φ ∂²φ ∂²φ ∂²φ ρ + + − = −μj; + + − = − ; 2 2 2 2 2 2 2 2

∂x ∂y ∂z ∂(ct) ∂x ∂y ∂z ∂(ct) ε

(7.2.4)

1 ∂φ ∂ρ

divA +

₂ = 0; divj+ = 0 c ∂t ∂t

Таким образом, новое выражение для плотности лагранжиана приводит к правильным уравнениям электродинамики (уравнения Максвелла в калибровке Лоренца).

7.3 Тензор энергии-импульса и законы сохранения

Теперь нам необходимо записать тензор энергии-импульса электромагнитного поля волны T_ik. Общий вывод формулы для вычисления тензора энергии-импульса, получаемой из плотности лагранжиана, приведен в [1]. Эта формула имеет вид

∂A^l ∂Λ

T_ik = δ_ik Λ − ^∑l _∂xi _∂Al (7.3.1)

∂x_k

где Λ = - (∂A_l/∂x_k)²/2μ

Вычисления дают следующий результат

1 ∂A^l ∂A^l 1 ∂A^{l 2}

T_ik = − δ_ik ( ) (7.3.2) μ ∂x_i ∂x_k 2μ ∂x_i

Он совпадает с тензором энергии-импульса, приведенном в [4]. Нетрудно заметить, что тензор энергии-импульса симметричен T_ik = T_ki. Для полноты описания к этому тензору можно было бы добавить тензор взаимодействия 4-вектора тока с 4-потенциалом j_i A_k. Здесь мы ограничимся рассмотрением полей в свободном пространстве и не будем этого делать.

Известно, что 4-дивергенция этого тензора для свободного пространства (когда поля рассматриваются за пределами источников) равна нулю ∂T_ik/∂x_k= 0. Из этого выражения должны вытекать законы сохранения энергии и импульса (в нашем случае мы должны получить выражения для закона сохранения плотности электромагнитной энергии и закона сохранения плотности импульса) электромагнитной волны в свободном пространстве.

Эти законы, вытекающие из дивергенции тензора энергии-импульса T_ik, в общей форме имеют следующий вид:

1. Закон сохранения плотности потока S электромагнитного поля волны

∂S 1

+ ₂ gradw = 0 (7.3.3)

∂t c

2. Закон сохранения плотности энергии w электромагнитного поля волны

∂w

divS +

= 0 (7.3.4) ∂t

где:

1 ∂A 1 ∂A ∂φ

S = −

divA − ×rotA + ε(gradφ ) (7.3.5) μ ∂t μ ∂t ∂t

1 ^{2 2} ∂A ² ε ² ∂φ ²

w = [(divA) + (rotA) + ( ) ]− [(gradφ) + ( ) ] (7.3.6)

2μ ∂ct 2 ∂ct

Из полученных соотношений следуют весьма интересные выводы.

1. Во-первых, в общем случае уравнения Максвелла в калибровке Лоренца описывают три различных вида потоков. Первый поток энергии есть известный поток

поперечных электромагнитных волн, описываемый вектором Пойнтинга. Его

1 ∂A

плотность равна S₁ = −

× rotA . Второй поток – поток продольных электрических μ ∂t

1 ∂A

волн векторного потенциала А. Его плотность равна S₂ = −

divA . Третий поток – μ ∂t

поток продольных волн, образованный скалярным потенциалом φ с плотностью

∂φ

потока S₃ = ε

gradφ.

∂t

2. Во вторых, плотность энергии и плотность потоков S₁ и S₂ , образованных векторным потенциалом А, положительны, а плотность энергии и плотность потока S₃ , созданного скалярным потенциалом φ, отрицательны. Это отнюдь не новый факт. Об этом знают специалисты по квантовой теории поля, но этот факт, как обычно, мало известен физикам, которые специализируются в других направлениях.

3. В третьих, из выражений (7.3.3) и (7.3.4) вытекает новое интересное следствие. В свободном пространстве плотности потоков и плотности энергий должны удовлетворять волновому уравнению, т.е. плотность потока и плотность энергии тоже являются запаздывающими, подобно потенциалам полей электромагнитной волны.

∂2S ∂2S ∂2S ∂2S ∂2w ∂2w ∂2w ∂2w

+ + − = 0; + + − = 0 (7.3.7) Это означает, _{2 2 2 2 2 2 2 2}

∂x ∂y ∂z ∂(ct) ∂x ∂y ∂z ∂(ct)

что решение некоторых задач, например, по дифракции волн, связанных с решением векторных волновых уравнений, можно свести к тем же задачам, но описываемых волновым уравнением для скалярной плотности энергии w. Иными словами, в принципе возможно уменьшение громоздкости вычислений при решении подобных задач.

4. В четвертых, полученные результаты нетрудно распространить на любые волновые процессы, описываемые волновым уравнением.

7.4 Условие отсутствия продольных волн

Классической общепринятой формой уравнений электродинамики являются уравнения Максвелла в калибровке Лоренца. Как было показано в параграфе 3 Главы 1, решение в виде продольных волн может существовать в рамках уравнения Максвелла. Как известно, продольные электромагнитные волны не существуют в природе. По крайней мере, они до сих пор не были обнаружены, хотя порядок величины их мощности излучения должен быть соизмерим с мощностью излучения поперечных волн. Возникает следующая проблема: выяснить условия, при которых два потока продольных волн компенсируют (взаимно уничтожают) друг друга.

Чтобы удобнее и нагляднее было решить проблему взаимной компенсации продольных волн, этим уравнениям можно придать несколько иную форму. Разделим векторный потенциал и плотность тока на две составляющих вихревую (соленоидальную) составляющую и безвихревую (полярную) и запишем уравнения.