Анализ классической электродинамики и теории относительности (стр. 20 из 54)

12

где I ₂ = ∫ρ₄ v ₄₃ds ₂

Отметим, что (5.4.3) инвариантно относительно преобразования Галилея.

Существующая в современной литературе [5] асимметрия закона Ампера (или формулы Био-Саварра) в ряде случаев приводит к нарушению Третьего закона Ньютона. Это видно из современной записи выражений для сил:

μ I1dl1 ×[R12 × I 2 dl 2 ] μ I1dl1 ×[R12 × I 2 dl 2 ]

F21 =

3 ; F21 = 3

4π R12 4π R12

В общем случае F₁₂ ≠ F₂₁. Пример подобного нарушения приведен в [5], а рисунок из этой работы воспроизведен ниже.

На рис. 5.2 показано, что второй элемент тока воздействует на первый с силой F₂₁, отличной от нуля, а сам не испытывает никакого воздействия со стороны первого элемента тока.

Рис. 5.2

Полученное нами соотношение (5.4.3) позволяет устранить асимметрию закона Ампера, которая до сих пор не получила бесспорного объяснения. Чтобы выяснить особенности взаимодействия элементарных токов, запишем интеграл действия, опираясь на (5.4.3):

S = ∫ Ldt

dt

12

Варьировать мы можем только две величины R₁₂ – расстояние между двумя проводниками и ϕ₁₂ – угол взаимной ориентации элементов тока. a. Будем варьировать R₁₂ при угле ϕ₁₂ постоянном. μ (I1dl1 ⋅ I 2dl 2 ) μ 1

δS = δ∫ 4π R12 dt = 4π ∫(I1dl1 ⋅ I 2dl 2 )δ(

R12 )dt =

Отсюда следует, что

dt = 0

μ (I¹dl¹ ⋅I ²dl ² )

F₁₂ =

R₁₂ = −F₂₁ (5.4.4)

Как мы видим, Третий принцип Ньютона выполняется.

b. Будем варьировать угол взаимной ориентации элементов тока ϕ₁₂ при неизменном R₁₂.

δS =

)dt =

12 4π 12

× dl ₂ ]δϕ₁₂ )dt = ∫M ₂₁δϕ₁₂dt = −∫M₁₂δϕ₁₂dt = 0

μ [I¹dl¹ × I ²dl ² ]

Отсюда следует, что M ₂₁ =

= −M₁₂ (5.4.5)

4π R₁₂

Результаты (5.4.4) и (5.4.5) полностью описывают явления, связанные с взаимодействием двух элементарных токов. Третий принцип Ньютона не нарушается.

Правильность полученного вывода можно подтвердить, используя выражение для силы Лоренца при отсутствии кулоновских сил.

∂A¹

F₁₂ = −q₂

+ q₂ v ₂ ×rotA₁ (5.4.6)

∂t

Вычислим значения

φ1v1 q1v1 ∂A1 v1 ∂φ1 μ

A1 = 2 = μ q2 = q2 = − 3 q1v1 (q2 v 2R 21 ) c 4πR₁₂ ∂t c₂ ∂t 4πR₁₂

μ

q2 v 2 ×rotA1 = −

3 q2 v 2 ×[R 21 ×q1v1 ]

4πR₁₂

Подставляя эти выражения в (5.4.6), получим

μ

F12 = −

3 R 21 (q1v1q2 v 2 ) = −F21

4πR₁₂

По своей форме полученное выражение соответствует выражению (5.4.4). Действительно, если q₁v₁ соответствует I₁dl₁ , а q₂v₂ соответствует I₂dl₂ , то придем к выражению (5.4.4), что и требовалось показать.

5.5 Взаимодействие проводника с током и заряда

Рассмотрим, как взаимодействуют заряд и проводник с током. Как и прежде, проводник мы будем рассматривать как ионную решетку, в которой со средней скоростью движутся электроны проводимости. Пусть заряд и проводник движутся со своими скоростями.

Будем считать, что количество положительных и отрицательных зарядов проводника велико и заряд q не влияет на ток в проводнике.

Пусть в точке, где находится заряд q, положительные заряды создают потенциал φ₁, а отрицательные - φ₂. Проводник квазинейтрален, т.е. φ₁ + φ₂ = 0.

Запишем функцию Лагранжа

mv ² (v₁ − v) ² (v ₂ − v) ²

L =

− qφ₁[1+ ₂ ]− qφ₂[1+ ₂ ] (5.5.1)

2 2c 2c

Учитывая условие квазинейтральности, придадим (5.5.1) форму, удобную для дальнейшего исследования

(v₁ + v ₂ )

L = + qφ_{1 2}

2 c

Обозначим v₀ = (v₁+v₂) / 2 . Это скорость базовой системы отсчета. Базовой системой отсчета для проводника мы будем считать систему отсчета, в которой положительные и отрицательные заряды движутся относительно наблюдателя с одной скоростью, но в противоположные стороны.

mv ² (v₁ − v ₂ )(v − v ₀ )

L =

+ qφ_{1 2} (5.5.2)

2 c

Соотношению (5.5.2) можно придать стандартную форму, если ввести следующие обозначения φ¹ (v¹ − v ² )

A = ₂ - векторный потенциал в точке, где находится заряд q; c

v_r = v − v ₀ - скорость заряда относительно базовой системы отсчета.

Рис. 5.3 Обозначения: v₁ – скорость движения положительных зарядов проводника; v₂ – скорость движения электронов проводника; v – скорость свободного заряда; v₂₁ = v₂ - v₁ – средняя скорость электронов проводимости относительно проводника.

mv ²

Итак, L =

+ qv_r A 2

Заметим, что (v₁ – v₂) весьма мало, поэтому потенциал φ₁ является функцией (R –v₀t), а производная dR / dt есть скорость v движения заряда q. Учитывая эти замечания, нетрудно записать уравнение движения для заряда, в правой части которого стоит сила Лоренца dv ∂A

m = −q + q(v − v₀ )×rotA (5.5.3) dt ∂t