Анализ классической электродинамики и теории относительности (стр. 2 из 54)

1.2 Потенциал движущегося заряда

Рассмотрим в качестве иллюстрации скалярный потенциал равномерно движущегося заряда, который описывается волновым уравнением

где: φ - скалярный потенциал поля заряда, δ - дельта функция Дирака, v – скорость заряда q вдоль оси z.

Мы ищем решение уравнения (1.1.2) в заданной фиксированной системе отсчета, не прибегая к каким-либо пространственно-временным преобразованиям. С точки зрения математической постановки задачи нам следовало бы задать начальные условия. С точки зрения физической постановки задачи, эти начальные условия несущественны, поскольку непосредственно не связаны с источником потенциала (зарядом), как было сказано выше. Решение задачи ищется исходя из физических соображений, т.е. исходя из физической модели описания процессов.

Покажем, что при физической постановке задачи единственность решения нарушается и не просто нарушается.

Итак, с одной стороны, решение уравнения (1.2.1) определяется формулой (потенциал Лиенара-Виехерта [2], [3]).

e

φ=(1.2.2)

vR

(R − )

c

где R есть расстояние от заряда до точки, где измеряется потенциал. Если точка наблюдения в начале координат, то R ² = x ² + y ² + z ² , где (x;y;z) – координаты заряда.

Потенциалы Лиенара-Виехерта являются запаздывающими. Это видно из самой структуры решения (1.2.2).

С другой стороны, имеется формула Лоренца для потенциала равномерно движущегося заряда

e

φ =

(1.2.3)

Это выражение получено Лоренцем в результате применения его преобразования к потенциалу покоящегося заряда. Оно тоже удовлетворяет уравнению (1.2.1).

Сравнивая выражения (1.2.2) и (1.2.3), легко убедиться, что они принципиально различны!

Комбинируя их, можно записать ряд новых решений. Например, полусумма выражений (1.2.2) и (1.2.3) тоже является решением поставленной физической задачи. Нарушение единственности решения уравнения (1.2.1) при физической постановке задачи очевидно.

Итак, с математической точки зрения:

Имеем одно исходное волновое уравнение (1.2.1);

Имеем одно и то же пространство и время (систему отсчета);

Имеем одни и те же граничные условия;

Но имеем различные начальные условия и, соответственно, получаем различные решения (1.2.2) и (1.2.3).

Покажем, что потенциал (1.2.3) является мгновенно действующим, т.е. он является решением уравнения эллиптического типа при постоянной скорости движения заряда.

Действительно, в калибровке Лоренца потенциал должен удовлетворять уравнению

1 ∂ ²φ 4πq

Δφ − _{2 2} = − ⋅δ(x; y;z − vt) c ∂t ε

В то же время, скалярный потенциал φ должен удовлетворять уравнению непрерывности ∂φ

divφv +

= 0

∂t

При равномерном движении заряда

∂φ ∂φ

= −vgradφ = −v (1.2.4)

∂t ∂z

Учитывая условие непрерывности (1.2.4) для потенциала, можно показать, что вторую производную по времени от потенциала в выражении (1.2.1) можно привести к виду

∂ ∂φ ∂ ∂φ ₂ ∂ ²φ ( ) = − (vgradφ) = −vgrad = vgrad(vgradφ) = v ₂

∂t ∂t ∂t ∂t ∂z

Уравнение (1.2.1) принимает вид

∂ ²φ ∂ ²φ v ² ∂ ²φ 4πq

₂ + ₂ + (1− ₂ ) ₂ = − δ(x; y;z − vt)

∂x ∂y c ∂z ε

Левая часть уравнения (1.2.1) теперь представляет собой уравнение эллиптического (а не гиперболического) типа, решением которого является выражение (1.2.3), т.е. мгновенно действующий потенциал. Нарушение единственности решения физической задачи налицо.

Итак, что бы ни доказывали релятивисты, как бы они ни жонглировали штрихами над переменными и ни манипулировали преобразованиями, выражение (1.2.3) есть мгновенно действующий потенциал! Сторонники СТО приводят аргументы со ссылками на «пространственно-временные изменения», происходящие при использовании преобразования Лоренца и на теорему о единственности решения. Но это лишь декларации, поскольку начальные условия (как принципиальный элемент) «выпали» из постановки задачи. Без учета этих условий применять теорему о единственности решения задачи Коши математически неграмотно.

1.3 Вырожденные члены в решении волнового уравнения

Вернемся к математической постановке задачи, рассмотренной в начале первого параграфа. Имеем:

– Неоднородное волновое уравнение, описывающее некоторый потенциал u.

∂ ²u 1 ∂ ²u

₂ − _{2 2} = f (x;t) (1.3.1)

∂x c ∂t

– Граничные условия, которым должен удовлетворять этот потенциал.

–

Начальные условия u(x;0) =ϕ(x); ^∂u =ψ(x)

∂t t=0

Иногда по условию задачи вводится добавочное условие на производную потенциала во времени, например,

∂u

= F(u; x;∂x / ∂t) = F(u; x;v)

∂t (1.3.2)

Например, таким условием может служить уравнение непрерывности для потенциала u

∂u

+divuv = 0

∂t .

Покажем, что если решение задачи при дополнительном условии существует, то оно будет содержать вырожденный (мгновенно действующий) член в решении.

Процедура решения.

Пользуясь выражением (1.3.2), найдем вторую производную ∂²u/∂t²

∂ ²u ∂F ∂u ∂F ∂x ∂F ∂v

= + + = ₂

∂t ∂u ∂t ∂x ∂t ∂v ∂t

∂F ∂F ∂x ∂F ∂v

= F + + =Ф(u;x;v;∂v/∂t)

∂u ∂x ∂t ∂v ∂t

Таким образом, дополнительное условие позволяет преобразовать волновое уравнение (1.3.1) (в общем случае) к неоднородному уравнению эллиптического типа, поскольку это уравнение не содержит частных производных от потенциала по времени.

∂ ²u 1 − Ф = f (x;t)

2 2

∂x c

Пусть общим решением этого неоднородного уравнения служит решение u1 = u* +C1x +C2

Чтобы это решение было общим решением (1.3.1), в него необходимо добавить два члена.

Итак, общее решение (1.3.1) будет иметь вид u = u¹ +C³ (x +ct)+C⁴ (x −ct) = u^* +C¹x +C² +C³ (x +ct)+C⁴ (x −ct) (1.3.3)

Если нам удастся подобрать коэффициенты С₁, С₂, С₃(x + ct), C₄(x - ct) так, чтобы удовлетворялись начальные и граничные условия, то решение задачи при наличии добавочного условия существует. Это решение содержит хотя бы один вырожденный (мгновенно действующий) член u*.

Добавление.

Вернемся к выражению (1.3.3). В силу теоремы существования и единственности решения решение уравнения (1.3.1) решение (1.3.3) единственно, существует и может содержать (мгновенно действующий) член независимо от добавочного условия. Добавочное условие мы ввели в математическую постановку задачи только для иллюстрации появления в решении мгновенно действующих членов. Мы не будем здесь определять класс начальных условий, при которых решение содержит (или не содержит) вырожденных членов. Это задача математики.