Анализ классической электродинамики и теории относительности (стр. 19 из 54)

∂L ∂A

P =

= mv + eA + e( v) (5.2.10)

∂v ∂v

Соответственно, и функция Гамильтона должна иметь вид:

mv² ∂A

H =

+ eφ+ ev( v) (5.2.11)

2 ∂v

Например, функция Гамильтона для квазинейтральной системы QS равна

φ (v_i − v_k )²

H =₂ ]} (5.2.12)

k=1 2 i≠k 2 2c

Она также инвариантна относительно преобразования Галилея. Относительные скорости используется в физике, ошибочно.движения зарядов (и, как следствие, магнитные взаимодействия) сохраняются в выражении (5.2.12). Можно утверждать, что выражение (5.2.8), которое широко

5.3 Законы сохранения

Запишем теперь законы сохранения, вытекающие из (5.1.1). Мы не будем воспроизводить промежуточные результаты, поскольку существуют стандартные способы получения законов сохранения (первых интегралов), изложенные в любом учебнике по теоретической механике.

1 В силутого, что функция Лагранжане зависит явно от времени (инвариантна относительно преобразования t = t ‘ + t₀, где t₀ - const) имеет место закон сохранения

N mivi2 N N ∂Lik

энергии E = ∑

+∑∑( v_ik − L_ik ) = const (5.3.1)

i=1 2 i=1 k>i ∂vik

2 Закон сохранения импульса вытекает из инвариантности функции Лагранжа относительно преобразования R = R’ + R₀ , где R₀ – const.

N ∂L N N ∂Lik N

P =^∑i=1

_∂vi =(^∑i=1 m_i v_i +^∑k=1 _∂vi ) =^∑i=1 m_i v_i = const (5.3.2)

3

Из инвариантности функции Лагранжа относительно вращений пространственных координат R = R₀ +[R₀ ×dϕ], где R₀ – постоянен, а dϕ - угол поворота, следует закон сохранения момента импульса M =∑i^N=1 ⎛⎜_⎜⎝[m_iR_i ×v_i ]+∑k^N>i [R_ik ×_∂^∂_v^Likik ^⎟⎞_⎠= const (5.3.3) _⎟

4 Из инвариантности функции Лагранжа относительно преобразования Галилея следует, что центр инерции замкнутой системы, определяемый выражением

N N

R_c = ∑m_iR_i /∑m_i движется относительно наблюдателя с постоянной скоростью

i=1 i=1

dRc N N v_c =

= ∑m_i v_i /∑m_i . dt i=1 i=1

Таковы следствия, вытекающие из соотношения (2.1) в рамках классической механики для квазинейтральных систем электродинамики. Попутно заметим, что все полученные результаты остаются справедливыми и для случая, когда vik = 0, а Lik зависит только от

R_ik.

5.4 Взаимодействие проводников с током

Инвариантность функции Лагранжа относительно преобразования Галилея позволяет описать магнитные явления с позиции механики Ньютона. Проиллюстрируем это на примерах.

Рассмотрим взаимодействие двух проводников с токами. Проводник мы представим в виде ионной решетки положительных зарядов и электронов проводимости

(квазинейтральная система). Пусть первый проводник, т.е. его кристаллическая решетка, движется со скоростью v₁, а второй – со скоростью v₃, как показано на рис. 5.1.

Функция Лагранжа будет определяться суммой парных взаимодействий положительных и отрицательных зарядов двух проводников. Выделим во втором проводнике объем dV, в котором ρ₃ и ρ₄ – плотности положительных и отрицательных зарядов соответственно. Пусть в этом объеме положительные заряды первого проводника создают потенциал φ₁, а отрицательные - φ₂.

Будем считать, что оба проводника квазинейтральны: ρ₃ + ρ₄ = 0; φ₁ + φ₂ = 0. Плотность лагранжиана равна:

φ1ρ3 (v1 − v 3 ) ² φ1ρ4 (v1 − v 4 )²

Λ = − 2 (1+

2 ) − 2 (1+ 2 ) − с 2c с 2c

φ²ρ³ (v ² − v ³ ) ² φ²ρ⁴ (v ² − v ⁴ ) ²

− ₂ (1+ ₂ ) − ₂ (1+ ₂ ) = (5.4.1) с 2c с 2c

φ1v12

= ₂ ρ₃ v ₃₄ = jA c

где: j = ρ₃v₃₄ = ρ₄v₄₃ – плотность тока в проводнике 2; A = φ₁v₁₂ / c² =φ₂v₂₁ / c² – векторный потенциал, создаваемый проводником 1 в объеме dV проводника 2.

Рис. 5.1 Обозначения: v₁ – скорость положительных зарядов проводника 1; v₂ – средняя скорость отрицательных зарядов проводника 1; v₃ - скорость положительных зарядов проводника 2; v₄ - средняя скорость отрицательных зарядов проводника 2; v₂₁ = v₂ – v₁ - средняя скорость движения отрицательных зарядов в проводнике 1 относительно положительных; v₄₃ = v₄ – v₃ - средняя скорость движения отрицательных зарядов в проводнике 2 относительно положительных.

Легко видеть, что плотность функции Лагранжа совпадает с общепризнанной. Однако заметим также, что это является следствием полной компенсации кулоновских потенциалов в квазинейтральных системах, а не релятивистским эффектом. Помимо этого, следует подчеркнуть, что (5.4.1) инвариантно относительно преобразования Галилея. Для получения функции Лагранжа необходимо (5.4.1) проинтегрировать по всему объему, содержащему проводники.

L = ∫ jAdV (5.4.2)

Теперь мы можем, опираясь на (5.4.2), рассмотреть взаимодействие двух бесконечно малых проводников с токами, т.е. взаимодействие двух элементарных токов. Пусть длины проводников dl₁ и dl₂ , а также размеры их поперечных сечений s₁ и s₂ малы по сравнению с расстоянием R₁₂ между этими проводниками. В этом случае векторный потенциал первого проводника можно записать в известной форме:

μ I¹dl¹

A =

4π R₁₂

где: I₁ – ток, протекающий через поперечное сечение первого проводника, I₁ =∫ρ₂ v ds

21

Подставим это выражение в (5.4.2)

μ I¹dl¹

L = ∫

j dV

4π R₁₂

и, учитываямалость объема dV, в котором векторный потенциал А, можно считать постоянным, получим:

L jdV (5.4.3)