Анализ классической электродинамики и теории относительности (стр. 14 из 54)

Как следует из формулы, взаимодействие «магнитного» характера определяется относительным движением зарядов. Следует заметить, что никаких «запаздываний» в полученном результате нет. Относительная скорость не «запаздывает», да и относительное расстояние, являясь истинным скаляром, сохраняется неизменным в любой инерциальной системе отсчета. Но релятивистский математический формализм формально сохраняется.

Теперь мы можем записать интеграл действия зарядов для малых относительных скоростей движения зарядов.

v ² e e ⎡ v ² ⎤ v 2

S = ∫(m1 2 4πεr12 ⎣ 2c ⎦ m₁ 21 )dt =

(4.1.1)

e e v ² e e ² e e v ²

=

dt

4πε 12 12

Как видно из полученного результата массы заряженных частиц получают «добавки», которые по величине весьма малы по отношению к массам частиц. Пренебрегая ими, мы получаем известный интеграл действия для нерелятивистского (классического) случая

v 2 v22

S

+ ]dt =

(4.1.2) 2 2

v v

dt

из которого следуют известные уравнения движения

dv¹ ∂A ²

m₁

= −e₁gradφ₂ − e₁ + e₁[v₁ ×rotA ₂ ] dt ∂t

(4.1.3) dv ² ∂A¹

m₂

= −e₂gradφ₁ − e₂ + e₂ [v ₂ ×rotA₁ ] dt ∂t

Правая часть в этих выражениях есть сила Лоренца.

В стандартных учебниках выражение (4.1.2) также выводится небрежно. Доказательство приводится как простое и «очевидное». Функцию Лагранжа, отвечающую за взаимодействие, записывают следующим образом [1]

Lint = e1ui(1) Ai(2) = −e1φ2 + e1v1A 2 (4.1.4)

Конечно, выражения для функции Лагранжа в (4.1.2) и (4.1.4) совпадают. Но в этих выражениях отсутствуют некоторые члены пропорциональные квадратам скоростей, т.е. «добавки» к массам. Можно ли пренебрегать «добавками» к массам, поскольку соответствующие выражения становятся неинвариантными относительно преобразования Галилея? К чему это приводит, мы покажем в следующем параграфе.

4.2 Эксперимент Траутона и Нобла

Рассмотрим два заряда + q и - q, находящиеся на концах стержня длиной L. Кулоновские силы притяжения уравновешены упругими силами стержня. Опираясь на формулы (4.1.3) легко показать, что наблюдатель, движущийся относительно стержня со скоростью v, обнаружит вращающий момент, действующий на этот стержень. Процитируем работу [2] (параграф 14.2):

«… два заряда + q и – q, находящиеся на концах отрезка, движущегося со скоростью v, будут взаимодействовать как два элемента тока величиной Idl = qv. Силы, действующие на эти элементы тока, будут равны и направлены в противоположные стороны, и в общем случае они не коллинеарны … Рассчитаем величину этого эффекта …Сила

1 q 2 v 2

F =

_{2 2} sinθ направлена перпендикулярно к v в плоскости векторов L и v. …

4πε L c

Рис. 4.1

В цитате оговорка. Силы параллельны и равны, но не лежат на одной прямой линии. Этот «вращающий момент» до настоящего времени так и не нашел своего объяснения в рамках классических теорий. А появился он благодаря тому, что были отброшены «добавки» к массам частиц в выражении (4.1.2). Читаем далее в параграфе 18.4 из [2]:

«Траутон и Нобл пытались наблюдать этот момент на опыте. Парадокс, вызванный отрицательным результатом опыта, показал трудности в интерпретации скорости движущихся зарядов, существовавшие в дорелятивистской электродинамике».

«Виновной» сразу же объявили механику Ньютона и классические представления.

Опишем суть эксперимента Траутона и Нобла. Эти исследователи для наблюдения вращающего эффекта использовали заряженный плоский конденсатор, который был укреплен на упругом подвесе. Экспериментаторы долго и томительно ожидали вращение конденсатора, но так ничего и не обнаружили.

Они и не должны были ничего обнаружить, даже если бы крутящий момент действительно существовал. Вращающий момент должен наблюдаться (согласно (4.2.1)), если конденсатор движется мимо экспериментаторов с постоянной скоростью. Но обратите внимание, что этот конденсатор покоился в их системе отсчета.

Чтобы как-то оправдать отрицательный результат эксперимента, было высказано предположение, что вращающий момент создается «эфирным ветром» (!) вследствие движения Земли. Отрицательный результат эксперимента «оправдал» исследователей, поскольку было «доказано», что «эфирного ветра (равно как и эфира) не существует».

Если же исходить из выражения (4.1.1), то никакого вращательного момента на заряды не должно действовать, какую бы инерциальную систему отсчета мы не выбрали. Вращающий момент это результат некорректного устранения «добавок» к массам.

Взаимодействие зарядов зависит от относительных скоростей и относительных расстояний. Если бы даже эфир существовал, его скорость «выпала» бы из интеграла действия. Как следствие, с помощью подобного эксперимента принципиально невозможно было бы обнаружить движение относительно эфира.

4.3 «Конвективный потенциал»

Выше мы рассмотрели, так называемое, “классическое” объяснение появления вращающего момента для зарядов, движущихся с нерелятивистскими скоростями. Теперь рассмотрим тот же вариант в рамках “релятивистских” представлений. Как мы установили, там источником «парадокса» явилось пренебрежение «добавками» к массам. Теперь мы будем анализировать эту же проблему, опираясь на строгие соотношения (безо всяких приближений). Теория изложена в параграфе 18.4 «Конвективный потенциал» в работе [2], которую мы будем цитировать ниже. Цитаты будем давать курсивом.

Итак,

“Два электрона, движущихся параллельно друг другу с одинаковой скоростью u, взаимодействуют между собой. Сила взаимодействия определяется выражением для силы Лоренца…

F = e(E + u×B)

…после преобразования…

e² ⎛1−u ² /c² ⎞

F = − 4πε∇⎜⎜⎝ s ⎟⎟⎠= −∇ψ

… Функция e² (1−u ² /c² ) ψ =

называется конвективным потенциалом»….

4πεs

Обращаем ваше внимание на то, что конвективный потенциал является мгновенно действующим, а не запаздывающим в соответствии с Главой 1.

Рис. 4.2

«Сила F₂ , с которой электрон е₁, находящийся в точке (x₁, y₁, z₁), действует на электрон е₂, находящийся в точке (x₂, y₂, z₂), должна быть перпендикулярна поверхности эллипсоида

s =

ибо последняя является эквипотенциальной поверхностью…

…Таким образом, за исключением случаев, когда линия, соединяющая электроны, параллельна или перпендикулярна к направлению движения, силы действия и противодействия не коллинеарны”.

Здесь, видимо, также опечатка, поскольку силы коллинеарны, но не лежат на одной прямой. Естественно, что появляется вращающий момент. Заметим, что:

“…для наблюдателя, движущегося с зарядами, заряды не представляют собой элементов тока. Поэтому взаимодействие между ними будет чисто кулоновским”.