Анализ классической электродинамики и теории относительности (стр. 12 из 54)

«Рассмотрим поток энергии в медленно заряжающемся конденсаторе. (Мы не хотим сейчас иметь дело со столь высокими частотами, при которых конденсатор становится похожим на резонансную полость, но нам не нужен и постоянный ток.) Возьмем конденсатор с круглыми параллельными пластинами. Между ними создается однородное электрическое поле, которое изменяется с течением времени. …

… Когда конденсатор заряжается, внутренний объем приобретает энергию со скоростью

∂U = ε0πa 2hEE^&

∂t

Так, что должен существовать поток энергии, направленный откуда-то со стороны внутрь объема. ….

… Таким образом, на краях конденсатора, как видно из рисунка, возникает поток энергии, пропорциональный E × B. …

…Удивительная вещь! Оказывается при зарядке конденсатора энергия идет туда не через провода, а через зазор между краями пластин. Вот что говорит нам эта теория!

Как это может быть? Вопрос не из легких…»

Действительно, почему ток заряжает конденсатор, а энергия поступает «контрабандным» путем не с зарядами, а «извне» «через зазор между краями пластин»?

«… Наконец, чтобы убедить вас в том, что это явно ненормальная теория, возьмем еще один пример....» и т.д.

Дадим объяснение, добавив то, что именно Р. Фейнман упустил из виду. Дело в том, что, используя вектор Пойнтинга, Фейнман заведомо рассматривает волновые, а не квазистатические процессы.

При анализе волновых процессов конденсатор в линии (проводе) является неоднородностью, от которой происходит отражение части энергии волны.

Рис. 3.5

Электромагнитная волна распространяется над поверхностью идеального проводника, не проникая вглубь. Когда конденсатор заряжается, происходит увеличение энергии между пластинами конденсатора.

Поток, который подсчитывал Фейнман, фактически складывается из потоков трех волн: падающей, отраженной и прошедшей. В такой цепи (в отличие от классической кирхгофовской) ток не будет одинаков в различных сечениях неразветвленной цепи. То, что энергия «втекает» в объем между пластинами конденсатора извне, есть реальный волновой процесс.

Мы вовсе не хотим противопоставлять вектор Умова вектору Пойнтинга. Заметим, что волновой вариант связан с так называемыми безинерциальными зарядами и токами, которые будут рассмотрены позднее. Оба вектора применимы каждый в своей области и описывают свои явления. В последующих главах мы подробно рассмотрим эти вопросы. Здесь мы хотим отметить, что волновые решения уравнений Максвелла и «вырожденные решения» этих уравнений описывают разные явления, присущие классической электродинамике. И те, и другие решения отвечают физической реальности. Нельзя в угоду предрассудкам пытаться описать и объяснять квазистатические процессы, опираясь на волновые представления. Нельзя отождествлять поля электромагнитной волны и поля зарядов. Не случайно Р. Фейнман вынужден был сказать о современной электродинамике: «это явно ненормальная теория».

3.6 Релятивистский случай

Теперь остается показать, что электромагнитная масса имеет место и в релятивистском случае. Запишем уравнения Максвелла в калибровке Лоренца

∂ ² A ∂A ∂j

₂ⁱ = −μj_i ; (3.6.1) ⁱ =

∂x_l ∂x_i

0; ⁱ = 0 (3.6.2) ∂x_i

где: u_i = dx_i /ds; j_i = cρu_i ; A_i связанной с зарядом (v = 0).

= φu_i /c , величины ρ и φ берутся в системе отсчета,

Покажем, что для уравнения (3.6.2) существует закон сохранения Умова. Но сначала сделаем важные предварительные замечания.

1. Величины ρ и φ берутся в системе отсчета, связанной с зарядом (v = 0).

2. Выражение (3.6.1) по форме является уравнением гиперболического типа. Однако, как было показано в Главе 1, наличие уравнения непрерывности для 4-потенциала (3.6.2) «превращает» уравнение (3.6.1) в уравнение эллиптического типа.

Для доказательства закона Умова умножим выражение (3.6.2) на − с

2μ⋅∂A_k ∂x_i и преобразуем полученный результат.

Правая часть.

с ∂A_k 1 ₂ ∂A_k c ²ρ ∂φu^k c ² du^k

j_i = c ρu_i = u_i = ρφ = 0

2 ∂x_i 2 ∂x_i 2 ∂x_i 2 ds

Итак, правая часть обращается в нуль, поскольку потенциал φ берется в собственной системе отсчета, где он не зависит от времени, а на заряд не действуют внешние силы, и он не испытывает ускорения.

Левая часть

с ∂A_k ∂ ² A_i с ∂ ∂ ² A_i с ∂ ∂ ρφ

⁻ ₂ = − (A_{k 2} ) = (A_k j_i ) = с ( u_ku_i ) = 0 (3.6.3)

2μ ∂x_i ∂x_l 2μ ∂x_i ∂x_l 2 ∂x_i ∂x_i 2

Итак, мы получили в левой части выражение для дивергенции тензора плотности энергии-потока для поля заряда. Если компоненты этого тензора разделить на квадрат скорости света и проинтегрировать по пространственному объему, то получим выражение для тензора энергии-импульса релятивистской частицы с электромагнитной массой m_e [1], дивергенция которого определяется выражением:

∂ ∂

(T_ik ) = (m_ecu_iu_k ) = 0 (3.6.4)

∂x_i ∂x_i

Из полученного выражения следует, что релятивистский импульс электромагнитной массы постоянен. Это очевидно, поскольку заряд перемещается с постоянной скоростью. Из (3.6.3) вытекает закон сохранения Умова, который мы запишем ниже

∂ wv ρφ

divS_u +

w = 0, где S_u = ; w = - плотность потока и

∂^t 1− (v/c) ² 1− (v/c) ² плотность энергии поля заряда.

Нетрудно видеть, что релятивистское выражение соответствует классическому с точностью до релятивистского множителя.

Обсуждение

1. При решении проблемы электромагнитной массы мы не использовали гипотез о строении зарядов и показали, что электромагнитная масса имеет стандартные свойства механической инерциальной массы. Это положение справедливо как для малых, так и релятивистских скоростей.

2. При доказательстве мы опирались на мгновенно действующие потенциалы как в классическом, так и в релятивистском варианте (условие (3.5.2)).

3. Как известно, масса покоя заряда m₀ складывается из электромагнитной массы m_e и массы неэлектромагнитного происхождения m_n: m₀ = m_e + m_n. Последняя, противодействуя кулоновским силам расталкивания, обеспечивает устойчивость заряженных частиц. Сейчас мы ничего не можем сказать о неэлектромагнитной массе (о ее величине и знаке). Однако если эта масса обладает инерциальными свойствами, то неизбежен следующий вывод: неэлектромагнитная масса также должна обладать стандартными свойствами механической инерциальной массы независимо от ее природы.

4. Мы бы хотели обратить внимание на тензор энергии-импульса поля заряда. Этот тензор отвечает только мгновенно действующим полям движущегося заряда. Действительно, при доказательстве мы использовали уравнение непрерывности и запись векторного потенциала через скалярный потенциал и скорость заряда. А эти выражения, как было показано в Главе 1, превращают волновое уравнение в уравнение эллиптического типа с мгновенно действующими потенциалами. Такие поля имеют свои законы сохранения. Конечно, мгновенное распространение этих полей противоречит постулатам СТО. Позже мы обсудим эту теорию и покажем ее несовместимость с уравнениями Максвелла.