Анализ классической электродинамики и теории относительности (стр. 11 из 54)

∂w^k

divS_k +

+ p_k = 0 (3.3.3)

∂t

где:

1 ∂A ∂ jA

а) p_k = − j = (3.3.4)

2 ∂t ∂t 4

это плотность мощности, которая изменяет кинетическую энергию заряда;

б)

divA)² + (rotA)² ] (3.3.5)

Выражение (3.3.5) есть плотность кинетической энергии поля заряда: v 2 ε 2 we v 2 v 2

wk = 2 (gradφ) = 2 = μe ;

2c 2 2c 2

1 ∂A ∂A

в) S_k = − [ divA + ×rotA] (3.3.6)

2μ ∂t ∂t

это плотность потока кинетической энергии.

Приложение 1

Запишем интеграл действия частицы, на которую воздействуют потенциальные силы. Все точки заряда движутся с одинаковыми скоростями.

S

dt (П.3.1)

где: μ^* = μ_e + μ_n ; μ_e – плотность электромагнитной массы; μ_n – плотность неэлектромагнитной массы.

Из уравнения (П.1) следует уравнение движения.

∂ ^{* * * 2}

(μ v) + v×rot(μ v) − grad(μ c ) + gradΛ = 0 (П.3.2)

∂t

a) Пусть внешние силы отсутствуют (Λ = 0). Частица будет устойчива, если выполняется следующее условие:

gradμ^* = gradμ_e + gradμ_n = 0 (П.3.3)

б) Если же внешние силы существуют (Λ ≠ 0). Мы можем предположить, что частица тоже устойчива (внешние силы пренебрежимо мало деформируют частицу) и выражение (П.3.3) применимо к ней.

Умножим выражение (П.3.2) на скорость v. Используя тождество (П.3.3), запишем произведение.

∂ ∂

− v

(μ_e v) − v (μ_n v) + vgradΛ = 0 (П.3.4)

∂t ∂t

Первый член в выражении (П.3.4) есть электромагнитная плотность мощности ускоренной частицы (см. (3.3.4)).

∂ 1 ∂A ∂ jA

p_k = −v μ_e v = − j = − ( ) (П.3.5)

∂t 2 ∂t ∂t 4

Напомним, что ρ и φ не зависят от времени в собственной системе отсчета. Частица устойчива. Выражение (П.3.5) есть производная по времени от плотности кинетической энергии электромагнитной массы μ_e .

3.4 Баланс энергии элемента тока

Теперь предстоит проиллюстрировать выражение для баланса кинетической энергии на примере. В квазистатической электродинамике векторный потенциал элемента тока определяется выражением:

I(t)dl dA = μ

(3.4.1)

4πr

Подставляя выражение (3.4.1) в уравнения (3.3.6) и (3.3.8), мы можем записать такие результаты.

1. Плотность кинетической энергии равна:

² μ I(t)dl ²

d

w_k = ( ₂ ) (3.4.2) 2 4πr

Распределение энергии обладает радиальной симметрией.

2. Плотность потока кинетической энергии равна:

² ∂ ²

d S_k = r

d w_k (3.4.3)

∂t

Теперь нам следует обсудить характерные особенности плотности потока кинетической энергии d²S_k.

a. Изменение плотности кинетической энергии d²w_k, окружающей элемент тока, связано с плотностью потока кинетической энергии d²S_k. Плотность потока d²S_k, в свою очередь, зависит от изменения квадрата силы тока I во времени. Если величина тока (независимо от его направления) увеличивается, плотность потока кинетической энергии d²S_k положительна и d²S_k направлена вдоль радиуса. Она увеличивает энергию поля векторного потенциала, окружающего элемент тока. Если же ток уменьшается, тогда поток направлен к этому элементу тока. Он стремится поддержать и сохранить величину тока в этом элементе. При любом изменении величины тока потери на излучение отсутствуют. Это по существу напоминает математическую формулировку закона Ленца.

b. Заметим, что плотность потока d²S_k уменьшается в пространстве по мере удаления от элемента тока как 1/r³.

c. Когда изменение тока имеет место, плотность потока кинетической энергии возникает одновременно во всех точках пространства безо всякого запаздывания, т.е. мгновенно.

d. В противовес вектору Умова, который описывает конвективный перенос энергии зарядом, движущимся со скоростью v, плотность потока кинетической энергии существует только при ускоренном движении заряда (при изменении тока).

e. Электрическое поле, равное E'

t , определяет инерцию, т.е. величину

силового противодействия ускорению заряда. Мы можем рассматривать его также как напряженность поля, которая создает ЭДС самоиндукции.

3.5 Поток Умова и поток Пойнтинга

Чтобы уяснить принципиальное различие векторов Умова и Пойнтинга, рассмотрим пример. Пусть вдоль идеального проводника течет ток. В середине провода имеется тонкий разрыв, образующий емкость между торцевыми концами проводов. Будем для простоты считать, что краевые эффекты малы, а поле в зазоре однородно. Каким образом через эту емкость переносится энергия?

Вектор Умова.

Рассмотрим этот процесс в рамках квазистатических представлений. Пусть ток увеличивается во времени. Это означает, что на левой части проводника нарастает избыток положительных зарядов. На правой части торца, образующего емкость, накапливаются отрицательные заряды. Разность потенциалов между левой и правой частями увеличивается.

4. Рис. 3.3

В соответствии с этим через емкостный зазор протекает ток смещения, с плотностью тока равной j=ε∂E

∂t . В левой и правой частях проводника протекает поток основных носителей с плотностью j = ρv . Эти плотности токов равны.

С точки зрения теоремы Умова через емкостной зазор проходит поток энергии с плотностью, определяемой формулой (3.2.13). В частности, между пластинами проводника существует плотность потока (вектор Умова), которая направлена вдоль

ε ∂φ ε ²

проводника и равна S_u = −

gradφ = (gradφ) v = wv.

2 ∂t 2

Заметим, что ток в любом сечении цепи (в левом проводнике, в правом проводнике или в зазоре) один и тот же. Благодаря этому свойству «работают» известные законы Кирхгофа для электрических цепей. В любом сечении неразветвленного участка цепи протекает один и тот же ток.

Вектор Пойнтинга.

Рассмотрим ту же задачу с точки зрения волновых процессов (запаздывающие потенциалы). Она рассмотрена в [5].

Рис. 3.4

Р. Фейнман проводит расчеты и пишет следующее ([5], стр. 295 - 298):