Анализ классической электродинамики и теории относительности (стр. 10 из 54)

Если же плоскость перемещается вдоль оси x, то S_x равно нулю, поскольку магнитное поле благодаря симметрии будет отсутствовать.

S _x = [E×H] = 0

Рис. 3.2

Как известно, в природе масса есть скалярная величина. Теперь мы, следуя логике, должны признать, что скалярная инерциальная масса должна иметь тензорные свойства? Это абсурд! Не только в классическом (ньютоновском), но и в релятивистском случае мы сталкиваемся с проблемой «4/3».

3.2 Вектор Умова

Очевидно, что вектор Пойнтинга не приемлем для вычисления плотности потока поля заряда. Запишем уравнения для квазистатического поля заряда в квазистатическом приближении.

Δφ = ₋^ρ (3.2.1) ΔA = −μj (3.2.2) divA + ¹₂ ^∂φ = 0 (3.2.3) ε c ∂t

При этом векторный потенциал А связан со скалярным φ так же, как плотность тока связана с плотностью заряда. φv

A =

₂ (3.2.4) j = ρv (3.2.5) c

Эти дополнительные уравнения (3.2.4) и (3.2.5) будут необходимы нам для последующего анализа.

Нам необходимо показать, что уравнения (3.2.1), (3.2.2) и (3.2.3) соответствуют классической механике. Для реализации этой цели мы выразим векторный потенциал A в уравнении (3.2.1) через скалярный потенциал φ , используя уравнения (3.2.4) и (3.2.5).

1 ∂

ΔA +μj =

₂ {rot[−gradφ×v]+ (−gradφ) + vdiv(−gradφ) = 0 (3.2.6) c ∂t

В механике сплошных сред существует уравнение сохраняемости вектора а и интенсивности его векторных трубок [3], которое записано ниже:

rot[a×v]

vdiva = 0

∂t

Если в нем мы заменим вектор а вектором Е = –gradφ/c², тогда мы получим уравнение (3.2.6) для свободного заряда. Подобным образом из уравнения (3.2.3) мы получаем уравнение непрерывности, использующееся в механике сплошных сред [3].

∂φ

divvφ+

= 0 (3.2.7) ∂t

Уравнение (3.2.8) определяет потенциал φ , который создается источником с обильностью ρ/ε.

Δφ = −

(3.2.8)

Мы видим, что квазистатическая электродинамика и механика сплошных сред имеют общие уравнения. Это рождает надежду найти решение первого аспекта проблемы электромагнитной массы. Теперь мы можем приступить к доказательству существования электромагнитной массы у заряда.

Доказательство.

Пусть потенциал φ создается источником ρ/ε (3.2.8). Запишем интеграл I.

1 ∂φ ε ∂φ

I = ∫ρ ∂t dV = − 2 ∫Δφ ∂t dV (3.2.9) 2 где dV – элемент объема.

Используя теорему Гаусса, преобразуем интеграл I.

ε ∂φ ⁰ ε ∂ ²

I = − ^∫ ∂t gradφn dσ + 4 ^∫ ∂t (gradφ) dV (3.2.10) 2

где: dσ – элемент поверхности; n^о – единичная нормаль к поверхности.

С другой стороны, используя уравнения (3.2.6) и (3.2.7), мы можем представить уравнение (3.2.9) в следующей форме.

ε ⁰ ε ∂ ²

I = −∫[gradφ×[v×gradφ]]n dσ − 4 ^∫ ∂t (gradφ) dV (3.2.11) 2

Сравнивая уравнение (3.2.10) с (3.2.11), получим:

0 ∂we

∫Sun dσ + ∫ ∂t dV = 0 (3.2.12) где: Su – плотность потока вектора Умова

ε ∂φ

S_u = {− gradφ +[gradφ×[v×gradφ]} = w_e v (3.2.13)

2 ∂t

w_e

_eс² (3.2.14) – плотность энергии поля заряда: μ_e - плотность электромагнитной массы.

Уравнение (3.2.12) есть интегральная форма закона сохранения энергии Умова, который был опубликован им [4] еще в 1874 для механики сплошных сред.

Очевидно уравнения (3.2.13) и (3.2.14) прекрасно соответствуют соотношениям механики Ньютона (3.1.1) и (3.1.2). Используя этот результат, мы можем дать корректное вычисление электромагнитной массы, которое устраняет трудности в рассмотренных ранее примерах. Полученные соотношения справедливы для зарядов произвольной формы.

m_e

S_edV; P_e = m_e v c c

Что касается вектора Пойнтинга, то его неприменимость для подобных задач очевидна.

3.3 Уравнение баланса кинетической энергии

Теперь мы докажем другой важный результат. Мы получим уравнение баланса кинетической энергии для поля заряда. Вряд ли вызовет сомнение факт, что электромагнитное поле обладает кинетической энергией. Однако мы приведем доказательство, чтобы дать полную картину явлений.

Сначала мы рассмотрим физическую модель кинетической энергии поля заряда. Если на заряд воздействуют внешние силы, заряд ускоряется, и кинетическая энергия поля заряда изменяется. Это изменение связано с изменением плотности тока j и векторного потенциала А.

Ускоренное движение заряда мы можем рассматривать как скачок заряда из одной сопутствующей инерциальной системы отсчета в другую. Сопутствующая и ускоренная системы отсчета имеют равные скорости в бесконечно малом интервале времени.

Электрическое поле E = –gradφ в сопутствующей системе не зависит от времени и векторный потенциал A равен в ней нулю. Ускоренное движение заряда возбуждает добавочное электрическое поле E', которое обусловлено изменением векторного потенциала А во времени (см. Приложение 1). Это поле мы не можем рассматривать как пренебрежимо малую величину. В сопутствующей системе отсчета оно равно:

1 ∂A φ ∂v

E'= − = − ₂ (3.3.1)

2 ∂t 2c ∂t

Плотность мощности, которая ускоряет заряд, равна:

∂ jA ∂ v²

p_k = ρvE = ( ) = μ_e (3.3.2)

∂t 4 ∂t 2

где μ_е – плотность электромагнитной массы.

Эта мощность не зависит от выбора инерциальной системы отсчета в механике Ньютона. Теперь мы должны описать эту модель математически.

Доказательство.

Для доказательства уравнения баланса кинетической энергии воспользуемся формулой Грина для векторного потенциала.

∫EΔMdV =∫(EdivM + E×rotM)n ⁰ dσ − ∫(divEdivM + rotErotM)dV

где: E и M –вектора двух некоторых полей.

∂A

Пусть E = −

будет полем, которое создается ускоренным зарядом, а M = A/μ. В этом 2∂t

случае мы автоматически получаем уравнение баланса кинетической энергии в стандартной форме: