Гидравлика. Гидростатика (стр. 3 из 7)

Полученное уравнение выражает изменение давления вдоль координатных осей в общем случае равновесия, и называется основным дифференциальным уравнением гидростатики.

Поверхностью уровня называется такая поверхность, во всех точках которой рассматриваемая функция имеет одно и то же значение. Для задач гидравлики особое значение имеет поверхность равного давления. Эту поверхность будем называть поверхностью уровня.

Так как во всех точках поверхности уровня гидростатическое давление одинаково, то есть

,то . Из основного дифференциального уравнения гидростатики имеем:

(2.7)

поскольку плотность не равна нулю

,запишем

(2.8)

поверхность уровня имеет следующие свойства:

1) две поверхности уровня не пересекаются между собой;

2) массовые силы направлены нормально к поверхности уровня.

Поверхность уровня на границе жидкой и газообразной среды называется свободной поверхностью.

2.1.2. Давление при абсолютном покое

Рассмотрим случаи равновесия жидкости, находящейся в сосуде, в состоянии абсолютного покоя под действием сил тяжести и внешнего давления на свободной поверхности. В этом случае проекции единичной силы тяжести на координатные оси равны:

.

После подстановки в уравнение (2.6) получаем

. (2.9)

После интегрирования имеем

. (2.10)

Постоянную интегрирования С находим из граничных условий
(рис. 2.2): при ;

. (2.11)

После совместного решения уравнений (2.6) и (2.7) получаем

.

или

(2.12)

Полученное уравнение является основным уравнением гидростатики, позволяющие определять любое давление в точке.

2.1.3. Поверхность уровня при абсолютном покое

Дифференциальное уравнение поверхности уровня в этом случае имеет вид:

или (2.13)

интегрируя, находим

. (2.14)

Так как

- произвольная постоянная, то это уравнение будет уравнением семейства горизонтальных плоскостей. Таким образом, поверхность уровня есть горизонтальная плоскость, следовательно, и свободная поверхность будет горизонтальной плоскостью.

2.1.4. Анализ основного уравнения гидростатики

Как уже отмечалось, основное уравнение гидростатики служит для определения величины гидростатического давления в любой точке покоящейся жидкости

. (2.15)

Анализируя основное уравнение гидростатики можно сделать следующие выводы:

1. Гидростатическое давление есть сумма внешнего

давления, действующего на свободной поверхности и весового давления, создаваемого весом столба жидкости высотой ;

2. Внешнее давление

не зависит от координат рассматриваемых точек, то есть оно передается во все точки покоящейся жидкости без изменения, поэтому жидкость используется как среда для передачи давления. На этом свойстве жидкости основано действие гидравлических машин (гидропрессы, силовые цилиндры, гидродомкраты);

3. Весовое давление

является функцией координат точки. С увеличением заглубления точки под свободную поверхность, давление возрастает;

1. Внешнее давление
   может быть больше атмосферного, меньше атмосферного и равно атмосферному. Если численное значение
   определено с учетом атмосферного, то давление
   по формуле (2.15) будет абсолютным; если
   определено без учета атмосферного, то
   

будет избыточным.

2.1.5. Пьезометрическая и вакуумметрическая высоты

Рис 2.3. Условие равновесия для открытого сосуда

Рассмотрим условия равновесия для открытого сосуда, заполненного жидкостью, к которому в точке А присоединена открытая сверху трубка (рис. 2.3). Под действием весового или избыточного давления

, жидкость поднимается в трубке на высоту . Указанная трубка называется пьезометром, а высота – пьезометрической высотой.

Представим основное уравнение гидростатики относительно плоскости, проходящей через точку А. Давление в точке А со стороны сосуда определяется как:

(2.16)

со стороны пьезометра:

(2.17)

тогда:

(2.18)

или

(2.19)

то есть пьезометрическая высота показывает величину избыточного давления в точке, где присоединен пьезометр в линейных единицах размерности.

Рис 2.4. Условие равновесия для закрытого сосуда

Рассмотрим условия равновесия теперь для закрытого сосуда, где давление на свободной поверхности p₀ больше атмосферного давления p_атм (рис. 2.4).

Под действием давления p₀ большего p_атм и весового давления

жидкость поднимается в пьезометре на высоту большую, чем в случае открытого сосуда.

Давление в точке А со стороны сосуда:

(2.20)

со стороны открытого пьезометра:

(2.21)

тогда:

(2.22)

из этого равенства получаем выражение для

:

. (2.23)

Анализируя полученное выражение, устанавливаем, что и в этом случае пьезометрическая высота соответствует величине избыточного давления в точке присоединения пьезометра. В данном случае избыточное давление состоит из двух слагаемых: внешнего избыточного давления на свободной поверхности

и весового давления

(2.24)

Избыточное давление может быть и отрицательной величиной, называемой вакуумом. Так, во всасывающих патрубках центробежных насосов, в потоке жидкости при истечении из цилиндрических насадков, в вакуум – котлах в жидкости образуются области с давлением ниже атмосферного, т.е. области вакуума.