У цій же “Геометрії” ним практично було сформульовано поняття змінної величини та функції. Змінна величина Декартом була введена двояко. З одного боку, це відрізки змінної довжини, координатні відрізки точки, які своїм рухом описують плоску криву. З іншго боку, це – числові змінні, які виражають довжини, а для координат – і напрямки координатних відрізків.
Декарт розробив і алгебраїчний метод знаходження дотичних та нормалей до кривих. Один із методів знаходження дотичних – це метод невизначених множників, який зараз прийнято називати іменем Лаґранжа. Для розв’язку цієї задачі були застосовані овали Декарта. Овал Декарта – це така плоска крива, в якій відстані та будь-якої її точки від двох інших заданих точок (фокусів кривої) задовольняють співвідношення де – постійні числа. Ці овали Декарт побудував для оптики: він шукав криву, яка б заломлювала промені, які виходять з однієї точки, так, що заломлені промені проходили б через іншу задану точку. Cлід відзначити, що він розв’язав в квадратурах і задачу про брахістохрону та отримав рівняння циклоїди, а також вивчив основні властивості цієї кривої. В 1696 році ця задача була розв’язана методами математичного аналізу Й.Бернуллі та започаткувала варіаційне числення.
У третій частині “Геометрії” Декарт практично заклав основи сучасної алгебри, значно розширивши поле цих досліджень. Він отримав більш загальні результати, як Ф.Вієт, Т.Гарріот та А.Жіррар. Практично ним була сформульована, щоправда не досить чітко, основна теорема алгебри: зараз вона називається теорема Ґауса.
Згідно з філософією Декарта Бог незмінний, а звідси випливає, що всі зміни в природі відбуваються за постійними правилами [6]. Ці правила Декарт називає законами природи.
Основні закони механіки, за Декартом, мають такий вигляд:
1. Тіла за своєю природою позбавлені сили, тому ні одне з них не може змінити стану, в якому тіло перебуває: воно має певну конфігурацію та положення і перебуває в певному стані свого спокою та руху, поки зовнішня причина не здійснить у ньому зміни.
2. З першого закону випливає, що кожне рухоме тіло продовжує свій рух у тому ж напрямі, який лишається незмінним. Якщо тіло описує криву, то напрям змінюється в кожний момент, що може трапитись при постійному впливі якої-небудь зовнішньої причини. Незмінно однаковий напрям є пряма лінія. Тому всяке рухоме тіло саме по собі намагається продовжити свій рух по прямій лінії, а коли внаслідок зовнішньої причини рухається по колу, – то по дотичній до нього. Кожне тіло повинно зберігати свій стан руху, тому воно повинно намагатися рухатись уперед по прямій лінії, тому що всяке відхилення від неї може бути тільки наслідком зовнішніх причин.
3. Порожнього простору не існує, тому всяке рухоме тіло, яке намагається продовжувати свій шлях по прямій лінії, повинно зустрічатися з іншим тілом, з яким воно зіштовхується. Зіткнення відбувається в протилежному або в тому ж напрямку.
У цілому Декарт при зіткненні тіл нараховує сім випадків та відповідно до цього сім правил, згідно з якими повинна відбуватися зміна, яка випливає із зіткнення тіл.
Ці закони виводяться з припущення: 1) у різних тіл протилежні не рухи, а лише рух та спокій, тому серед рухомих тіл неможлива ніяка інша протилежність, окрім протилежності їхніх напрямків; 2) тіла, які зіштовхуються цілком тверді та міцні; 3) абсолютно не береться до уваги всяка дія довколишніх тіл, які можуть збільшити або зменшити рух тіл, які зіштовхуються. Декарт зі свого закону постійності імпульсу виводить і третій закон Ньютона (дія дорівнює протидії), але він трактує його як поодинокий випадок, а не поширює на всі види взаємодій.
Р.Декарта сміливо можна вважати і батьком-предтечею другого закону динаміки (другий закон Ньютона). Він ввів поняття імпульсу (кількості руху), а другий закон Ньютона і є якраз законом зміни імпульсу [5-7].
Із законів Декарта випливає, що тіла самі по собі не мають сили; оскільки вони повинні намагатися зберегти той стан, в якому перебувають, то мають силу опору; усі зміни в матеріальному світі випливають із зовнішніх причин, а тому будь-який рух повинен бути наданий за допомогою удару або поштовху; у матеріальному світі немає ніяких схованих причин, сил та якостей. Такою притаманною тілу та початковою силою є вага. Декарт заперечує її. Разом із вагою він повинен заперечувати й тяжіння та силу тяжіння: у цьому він відрізняється від Галілея та Ньютона. Через це він повинен заперечувати і центральні сили. Тобто закони небесної механіки він виводить із теорії вихорів (флюїдів), яка була модною як в ХVІІІ, так і в ХІХ століттях.
Свої погляди на природу світла Декарт виклав у “Трактаті про світло” та “Діоптриці”.
У “Трактаті про світло” Декарт пише про основні властивості світла:
1) поширюється в усі сторони навколо тіл, які світяться;
2) на всі можливі відстані;
3) миттєво;
4) звичайно, по прямих лініях, які називаються променями світла;
5) певні з цих променів, виходячи з різних точок, можуть збиратись в одну і ту ж точку; або
6) виходячи з однієї точки, вони (промені) можуть розходитися в різні напрямки;
7) виходячи з різних точок та прямуючи до різних точок, промені можуть пройти через одну і ту ж точку, не заважаючи один одному,
8) але іноді, коли їхня сили значно відрізняється, промені можуть і заважати один одному;
9) напрям променів може бути змінений за допомогою відбивання або
10) заломлення,
11) їхня сила може бути збільшена або ж
12) зменшена різними позиціями або якостями середовища, що передає ці промені.
Декарт помилився лише в третьому пункті: через 40 років після появи “Діоптрики” Олаф Рьомер встановив скінченність швидкості світла. Усі властивості світла він пояснював за допомогою своєї теорії вихорів. Слід відзначити, що теперішні уявлення про електромагнітну природу світла, включають і вихореву природу. Ну а пункт восьмий можна розглядати як перший вислів про сучасну нелінійну оптику.
Про природу кольорів він писав у “Метеорах”: “Природа кольору заключається лише в тому, що частинки тонкої матерії, які передають дію світла, намагаються з більшою силою обертатися, ніж рухатися по прямій лінії; таким чином, ті, які обертаються з більшою силою, дають червоне світло, з ще більшою, дають жовте...”
Теорію кольорів він пояснював на основі дифузного відбивання та вперше пояснив природу райдуги. Пізніше Р.Гук висловив гіпотезу про розкладання білого світла на кольори, а І.Ньютон експериментально це підтвердив.
Першим Декарт опублікував і закон заломлення світла (закон синусів), який зараз називається законом В.Снелла (Снелліуса). Є свідчення, що В.Снелл опублікував своє відкриття в курсі лекцій, які він читав у Лейденському університеті в 1621-1622 рр. Я.Гоол, який був професором математики в Лейдені після В.Снелла, про праці останнього дізнався лише після того, як захотів перевірити роботу Декарта. Тому в листі до Костянтина Гюйгенса Гоол пише, що він вражений відкриттям обох учених. Снелл отримав цей закон із досліду, Декарт – із роздумів. На відміну від Стелла, Декарт із цього закону вивів багато наслідків. Найважливішим є той факт, що швидкість світла може бути скінченною. Це випливало з того, що він розкладав швидкість світла на дві складові, одна з яких змінювалася. Безперечним є факт, що на обох учених мав великий вплив Й.Кеплер, який близько підійшов до відкриття цього закону.
Саме в диспуті з Декартом про поширення світла в середовищах з різною густиною П.Ферма сформулював свій знаменитий принцип найменшого часу, що відіграв важливу роль у становленні сучасної фізики.
У тій же “Діоптриці” Декарт описує будову ока та суть процесу побудови зображення та його відчуття в оці. Цей опис покладений в основу сучасного уявлення про око та процеси, які там відбуваються. Тут же наведена методика шліфування гіперболічних поверхонь.
Силу свого методу Декарт демонструє в “Метеорах”. Тут уперше метереологія постає як окрема наукова дисципліна.
В галузі анатомії та біології можна відзначити те, що він сприйняв теорію кровообігу В.Гарвея та не сприйняв його ж робіт про роль серця. У цілому ж він розглядав людський організм як механічний автомат. Слід відзначити, що до цього повернулись у ХХ столітті при створенні кібернетики.
На публікацію праць Декарта великий вплив мала доля Галілея: у 1633 році був виданий папський вердикт про заборону його космологічних праць, які підтверджували геліоцентричну систему нашого світу. Через це свої роботи з космології Декарт і не поспішав публікувати. В листі до Мерсенна він писав, що деякі його праці будуть опубліковані після смерті, не раніше як через 100 років.
Вердикт на заборону праць Декарта був виданий у 1663 році, через 13 років після його смерті. Декартові це вже було всеодно. Але зерна, посіяні ним, дали щедрий урожай.
Наведемо ще одну цитату Декарта з його листа Бекману від 26 березня 1619 року [8]: “... я намагаюся викласти зовсім нову науку, яка дозволила б загальним чином розв’язати усі проблеми незалежно від виду величини, неперевної чи дискретної, виходячи кожен раз із природи самої величини.... Це не може бути праця одинака, та її ніколи не закінчать”. Саме намагаючись просунути цю працю якомога далі, тобто працюючи над проблемами створення універсального числення, Вільгельм Ляйбніц створив інтегро-диференційне числення та заклав основи синтезу математики та логіки. Очевидно саме тому, що основні космологічні та релігійні праці Декарта були заборонені, Ляйбніц, який добре знав науковий доробок Декарта, шукав нові сфери для доведення правоти методу свого вчителя, щоправда заочного (очним учителем був Х.Гюйгенс). Як бачимо, це йому цілком вдалося.
Трохи іншим шляхом, але також від Декарта, пішов Ісаак Ньютон. По-перше, він підійшов до проблеми не побудови, а обчислення дотичних до кривих. Так появився ньютонівський варіант математичного аналізу: метод флюксій та флюент. Але на відміну від Ляйбніца, який використовував методологію Декарта, Ньютон створив свою власну методологію, яка є практично синтезом методолoгії Декарта та Ф.Бекона. Найбільш чітко це подано в його правилах умовиводів у фізиці: