Равноускоренное движение (стр. 2 из 2)

Рис. 2.

Измеренные значения y_i будут в общем случае смещены относительно искомой кривой как в сторону больших, так и в сторону меньших значений, вследствие статистического разброса (рис. 3).

Задача состоит в том, чтобы по данным экспериментальным точкам найти гладкую кривую (или прямую), которая проходила бы как можно ближе к графику “истинной” функциональной зависимости yf(t).

Теория вероятностей показывает, что наилучшим приближением будет такая кривая (или прямая) линия, для которой сумма квадратов расстояний по вертикали от экспериментальных точек до этой кривой будет минимальной.

Этот метод нахождения эмпирической зависимости получил название метода наименьших квадратов. Сущность этого метода состоит в следующем.

Рис. 3.

Предположим, что искомая зависимость выражается функцией

yf(t, A₁, A₂, ..., A_m), где A₁, A₂, ..., A_m – параметры. Значения этих параметров определяются так, чтобы точки y_i располагались по обе стороны этой кривой как можно ближе к последней, то есть, чтобы сумма квадратов отклонений измеренных значений y_i от функции yf(t) была наименьшей. (Это соответствует предположению, что разброс точек

относительно кривой yf(t) подчиняется закону нормального распределения.)

Мерой этого разброса является дисперсия

или ее приближенное выражение

( S_n)² – средний квадрат отклонений:

[y y(t_i)]² .

Этот средний квадрат отклонений и должен принять минимальное значение. Как известно, функция f(A)принимает минимальное значение при AA_min ,если ее первая производная равна нулю, а вторая производная положительна при значении AA_min . Для функции многих переменных эти условия заменяются требованием, чтобы частные производные, то есть производные по параметру A_i удовлетворяли вышеупомянутым условиям (при этом остальные параметры A_k (ki) при вычислении производных считаются постоянными).

Таким образом, из условий минимума мы получаем систему уравнений для определения наилучших значений параметров.

Рассмотрим применение метода наименьших квадратов на примере отыскания эмпирической зависимости пути, проходимого грузиками на машине Атвуда, от времени.

Полагая, что “истинная” зависимость пути от времени имеет вид

S(t) S Bt² .

можно рассмотреть случайные отклонения:

( S)_i S_i S(t_i) , (7) где S_i – измеренные положения правого грузика в моменты времени t_i . Запишем квадратичную форму

F

Bt_i²)² (8)

и потребуем, чтобы эта квадратичная форма, описывающая сумму квадратов отклонений

точек S_i от искомой кривой, была минимальной:

F(S₀, B)min .

Тогда из равенства нулю частных производных от F по параметрам S₀ и B получим два уравнения

. (9)

Эти уравнения можно переписать в виде

nS

. (10)

S₀2

Решение этой системы позволяет найти значения S₀ и B

, а затем определить ускорение a.

(В уравнениях (7 – 10) индекс i соответствует усредненному значению данного параметра соответствующей серии измерений в таблицах 1 и 2.)

Контрольные вопросы

1. Какие величины характеризуют прямолинейное движение?

2. Какое движение называется равномерным, ускоренным?

3. В чем состоит принцип метода наименьших квадратов?

4. Начертите график зависимости пути от времени для равноускоренного движения без начальной скорости, с начальной скоростью; график пути для равнозамедленного движения.

5. Объясните смысл и происхождение слагаемого S₀ и величины B в законе пути, полученном в результате работы.

6. С какой целью применяется метод наименьших квадратов?

Литература

1. Савельев И.В. Курс общей физики. т. 1.

2. Володина Л.А. Обработка результатов измерений.

3. Лебедев В.В. Руководство по обработке результатов наблюдений

при выполнении лабораторных работ. -М. МИНГ, 1987.