Курс физики (стр. 79 из 157)

Рис. 218

В случае резонанса напряжений

подставив в эту формулу значения резонансной частоты и амплитуды напряжений на катушке индуктивности и конденсаторе, получим

где Q — добротность контура, определяемая выражением (146.14). Так как добротность обычных колебательных контуров больше единицы, то напряжение как на катушке индуктивности, так и на конденсаторе превышает напряжение, приложенное к цепи. Поэтому явление резонанса напряжений используется в технике для усиления колебания напряжения какой-либо определенной частоты. Например, в случае резонанса на конденсаторе можно получить напряжение с амплитудой QU_m (Q в данном случае — добротность контура, которая может быть значительно больше U_m). Это усиление напряжения возможно только для узкого интервала частот вблизи резонанс ной частоты контура, что позволяет выделить из многих сигналов одно колебание определенной частоты, т. е. на радиоприемнике настроиться на нужную длину волны. Явление резонанса напряжений необходимо учитывать при расчете изоляции электрических линий, содержащих конденсаторы и катушки индуктивности, так как иначе может наблюдаться их пробой.

§ 151. РЕЗОНАНС ТОКОВ

Рассмотрим цепь переменного тока, содержащую параллельно включенные конденсатор емкостью С и катушку индуктивностью L (рис. 219).

Рис. 219

Для простоты допустим, что активное сопротивление обеих ветвей настолько мало, что им можно пренебречь. Если приложенное напряжение изменяется по закону U = U_mcosωt (см. (149.1)), то, согласно формуле (149.11), в ветви 1С2 течет ток

амплитуда которого определяется из выражения (149.10) при условии R = 0 и L = 0:

Начальная фаза ϕ₁ этого тока по формуле (149.9) определяется равенством

(151.1)

Аналогично, сила тока в ветви 1L2

амплитуда которого определяется из (149.10) при условии R = 0 и С = ∞ (условие отсутствия емкости в цепи, см. § 149):

Начальная фаза ϕ₂этого тока (см. (149.9))

(151.2)

Из сравнения выражений (151.1) и (131.2) вытекает, что разность фаз токов в ветвях 1С2 и 1L2 равна ϕ₁ - ϕ₂ = π, т. е. токи в ветвях противоположны по фазе. Амплитуда силы тока во внешней (неразветвленной) цепи

Если ω = ω_рез = 1/√LC, то I_m1 = I_m2 и I_m = 0. Явление резкого уменьшения амплитуды силы тока во внешней цепи, питающей параллельно включенные конденсатор и катушку индуктивности, при приближении частоты со приложенного напряжения к резонанс ной частоте соре, называется резонансом токов (параллельным резонансом). В данном случае для резонансной частоты получили такое же значение, как и при резонансе напряжений (см. § 150).

Амплитуда силы тока I_m оказалась равна нулю потому, что активным сопротивлением контура пренебрегли. Если учесть сопротивление R, то разность фаз ϕ₁ - ϕ₂ не будет равна π, поэтому при резонансе токов амплитуда силы тока I_m будет отлична от нуля, но примет наименьшее возможное значение. Таким образом, при резонансе токов во внешней цепи токи I₁ и I₂ компенсируются и сила тока I в подводящих проводах достигает минимального значения, обусловленного только током через резистор. При резонансе токов силы токов I₁ и I₂ могут значительно превышать силу тока I.

Рассмотренный контур оказывает большое сопротивление переменному току с частотой, близкой к резонансной. Поэтому это свойство резонанса токов используется в резонансных усилителях, позволяющих выделять одно определенное колебание из сигнала сложной формы. Кроме того, резонанс токов используется в индукционных печах, где нагревание металлов производится вихревыми токами (см. § 125). В них емкость конденсатора, включенного параллельно нагревательной катушке, подбирается так, чтобы при частоте генератора получился резонанс токов, в результате чего сила тока через нагревательную катушку будет гораздо больше, чем сила тока в подводящих проводах.

• Назовите характерные признаки резонанса напряжений, резонанса токов. Приведите графики резонанса токов и напряжений.

• Как вычислить мощность, выделяемую в цепи переменного тока? Что называется коэффициентом мощности?

§ 152. МОЩНОСТЬ, ВЫДЕЛЯЕМАЯ В ЦЕПИ ПЕРЕМЕННОГО ТОКА

Мгновенное значение мощности переменного тока равно произведению мгновенных значений напряжения и силы тока:

где U(t) = U_mcosωt, I(t) = I_mcos(ωt - ϕ) (см. выражения (149.1) и (149.11)). Раскрыв cos(ωt - ϕ), получим

Практический интерес представляет не мгновенное значение мощности, а ее среднее значение за период колебания. Учитывая, что 〈cos²ωt〉 = 1/2, 〈sinωt cosωt〉 = 0, получим

(152.1)

Из векторной диаграммы (см. рис. 216) следует, что U_mcosϕ = RI_m. Поэтому

Такую же мощность развивает постоянный ток

Величины

называются соответственно действующими (или эффективными) значениями тока и напряжения. Все амперметры и вольтметры градуируются по действующим значениям тока и напряжения.

Учитывая действующие значения тока и напряжения, выражение средней мощности (152.1) можно записать в виде

(152.2)

где множитель cosϕ называется коэффициентом мощности.

Формула (152.2) показывает, что мощность, выделяемая в цепи переменного тока, в общем случае зависит не только от силы тока и напряжения, но и от сдвига фаз между ними. Если в цепи реактивное сопротивление отсутствует, то cosϕ = l и Р = IU. Если цепь содержит только реактивное сопротивление (R = 0), то cosϕ = 0 и средняя мощность равна нулю, какими бы большими ни были ток и напряжение. Если cosϕ имеет значения, существенно меньшие единицы, то для передачи заданной мощности при данном напряжении генератора нужно увеличивать силу тока I, что приведет либо к выделению джоулевой теплоты, либо потребует увеличения сечения проводов, что повышает стоимость линий электропередачи. Поэтому на практике всегда стремятся увеличить cosϕ, наименьшее допустимое значение которого для промышленных установок составляет примерно 0,85.

ЗАДАЧИ

18.1. Материальная точка, совершающая гармонические колебания с частотой v=2 Гц, в момент времени t = 0 проходит положение, определяемое координатой х₀ =6 см, со скоростью v₀ = 14 см/с. Определить амплитуду колебания. [6,1 см]

18.2. Полная энергия гармонически колеблющейся точки равна 30 мкДж, а максимальная сила, действующая на точку, равна 1,5 мН. Написать уравнение движения этой точки, если период колебаний равен 2 с, а начальная фаза π/3. [х

= 0,04cos(πt + π/3)]

18.3. При подвешивании грузов массами m₁ = 500 г и m₂=400 г к свободным пружинам последние удлинились одинаково (∆l =15 см). Пренебрегая массой пружин, определить: 1) периоды колебаний грузов; 2) который из грузов при одинаковых амплитудах обладает большей энергией и во сколько раз. [1)

0,78 с; 2) 1,25]

18.4. Физический маятник представляет собой тонкий однородный стержень длиной 25 см. Определить, на каком расстоянии от центра масс должна быть точка подвеса, чтобы частота колебаний была максимальной. [7,2 см]

18.5. Два математических маятника, длины которых отличаются на ∆l =16 см, совершают за одно и то же время: один n₁ = 10 колебаний, другой n₂—6 колебаний. Определить длины маятников l₁ и l₂ [l₁ ~9 см, l₂ =25 см]

18.6. Колебательный контур содержит катушку с общим числом витков, равным 50, индуктивностью 5 мкГн и конденсатор емкостью 2 нФ. Максимальное напряжение на обкладках конденсатора составляет 150 В. Определить максимальный магнитный поток, пронизывающий катушку. (0,3 мкВб]

18.7. Разность фаз двух одинаково направленных гармонических колебаний одинакового периода, равного 8 с, и одинаковой амплитуды 2 см составляет π/4. Написать уравнение движения, получающегося в результате сложения .этих колебаний, если начальная фаза одного из них равна нулю. [x = 0,037соs (πt/4 + π/8)]