Курс физики (стр. 77 из 157)
Тогда уравнение (143.2) с учетом (147.3) можно записать в виде
Используя (143.4) и (146.11), придем к уравнению
(147.4)Колебания, возникающие под действием внешней периодически изменяющейся силы или внешней периодически изменяющейся э.д.с., называются соответственно вынужденными механическими и вынужденными электромагнитными колебаниями.
Уравнения (147.2) и (147.4) можно свести к линейному неоднородному дифференциальному уравнению
(147.5)применяя впоследствии его решение для вынужденных колебаний конкретной физической природы (x0 в случае механических колебаний равно F0/m, в случае электромагнитных — Um/L).
Решение уравнения (147.5) равно сумме общего решения (146.5) однородного уравнения (146.1) и частного решения неоднородного уравнения. Частное решение найдем в комплексной форме (см. § 140). Заменим правую часть уравнения (147.5) на комплексную величину
(147.6)Частное решение этого уравнения будем искать в виде
Подставляя выражение для s и его производных (s = iηs0eiηt , sɻ = - η2s0eiηt ) в уравнение (147.6), получаем
(147.7)Так как это равенство должно быть справедливым для всех моментов времени, то время t из него должно исключаться. Отсюда следует, что η = ω. Учитывая это, из уравнения (147.7) найдем величину s0 и умножим ее числитель и знаменатель на
Это комплексное число удобно представить в экспоненциальной форме:
где
(147.8) (147.9)Следовательно, решение уравнения (147.6) в комплексной форме примет
вид
Его вещественная часть, являющаяся решением уравнения (147.5), равна
(147.10)где А и ϕ задаются соответственно формулами (147.8) и (147.9).
Таким образом, частное решение неоднородного уравнения (147.5) имеет вид
(147.11)Решение уравнения (147.5) равно сумме общего решения однородного уравнения
(147.12)(см. (146.5)) и частного решения (147.11). Слагаемое (147.12) играет существенную роль только в начальной стадии процесса (при установлении колебаний) до тех пор, пока амплитуда вынужденных колебаний не достигнет значения, определяемого равенством (147.8). Графически вынужденные колебания представлены на рис. 209. Следовательно, в установившемся режиме вынужденные колебания происходят с частотой со и являются гармоническими; амплитуда и фаза колебаний, определяемые выражениями (147.8) и (147.9), также зависят от ω.
Рис. 209
Запишем формулы (147.10), (147.8) и (147.9) для электромагнитных колебаний, учитывая, что ω20 = l/(LC) (см. (143.4)) и δ = R/(2L) (см. (146.11)):
(147.13)Продифференцировав Q = Qmcos(ωt - α) no t, найдем силу тока в контуре при установившихся колебаниях:
где(147.14) (147.15)
Выражение (147.14) может быть записано в виде
где ϕ = α - π/2 — сдвиг по фазе между током и приложенным напряжением (см. (147.3)). В соответствии с выражением (147.13)
(147.16)Из формулы (147.16) вытекает, что ток отстает по фазе от напряжения (ϕ > 0), если ωL > 1/(ω0С), и опережает напряжение (ϕ < 0), если ωL < l(ωC).
Формулы (147.15) и (147.16) можно также получить с помощью векторной диаграммы. Это сделано в § 149 для переменных токов.
§ 148. АМПЛИТУДА И ФАЗА ВЫНУЖДЕННЫХ КОЛЕБАНИЙ (МЕХАНИЧЕСКИХ И ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫХ). РЕЗОНАНС
Рассмотрим зависимость амплитуды А вынужденных колебаний от частоты ω. Механические и электромагнитные колебания будем рассматривать одновременно, называя колеблющуюся величину либо смещением (х) колеблющегося тела из положения равновесия, либо зарядом (Q) конденсатора.
Из формулы (147.8) следует, что амплитуда А смещения (заряда) имеет максимум. Чтобы определить резонансную частоту ωрез — частоту, при которой амплитуда А смещения (заряда) достигает максимума, — нужно найти максимум функции (147.8), или, что то же самое, минимум подкоренного выражения. Продифференцировав подкоренное выражение по ω и приравняв его нулю, получим условие, определяющее ωрез
Это равенство выполняется при ω = 0, ± , у которых только лишь положи тельное значение имеет физический смысл. Следовательно, резонансная частота
(148.1)Явление резкого возрастания амплитуды вынужденных колебаний при приближении частоты вынуждающей силы (частоты вынуждающего переменного напряжения) к частоте, равной или близкой собственной частоте колебательной системы, называется резонансом (соответственно механическим или электрическим). При δ2 ≪ ω20 значение ωрез, практически совпадает с собственной частотой ω0 колебательной системы. Подставляя (148.1) в формулу (147.8), получим
(148.2)На рис. 210 приведены зависимости амплитуды вынужденных колебаний от частоты при различных значениях δ. Из (148.1) и (148.2) вытекает, что чем меньше δ, тем выше и правее лежит максимум данной кривой. Если ω→0, то все кривые (см. также (147.8)) достигают одного и того же, отличного от нуля, предельного значения x0/ω20, которое называют статическим отклонением. В случае механических колебаний x0/ω20 = F0/(mω20) в случае электромагнитных — Um/(Lω20). Если ω→∞, то все кривые асимптотически стремятся к нулю. Приведенная совокупность кривых называется резонансными кривыми.
Рис. 210
Из формулы (148.2) вытекает, что при малом затухании (δ2 ≪ ω20) резонансная амплитуда смещения (заряда)
где Q — добротность колебательной системы (см. (146.8)), x0/ω20 — рассмотренное выше статическое отклонение. Отсюда следует, что добротность Q характеризует резонансные свойства колебательной системы: чем больше Q, тем больше Арез.
На рис. 211 представлены резонансные кривые для амплитуды скорости
(тока).
Рис. 211
Амплитуда скорости (тока)
максимальна при ω20 = ω0 и равна x0/(2δ), т. е. чем больше коэффициент затухания δ, ниже максимум резонансной кривой. Используя формулы (142.2), (146.10) и (143.4), (146.11), получим, что амплитуда скорости при механическом резонансе равна
а амплитуда тока при электрическом резонансе
Из выражения tgϕ = 2δω/( ω20 - ω2) (см. (147.9)) следует, что если затухание в системе отсутствует (δ = 0), то только в этом случае колебания и вынуждающая сила (приложенное переменное напряжение) имеют одинаковые фазы; во всех других случаях ϕ ≠ 0.
Зависимость ϕ от ω при разных коэффициентах δ графически представлена на рис. 212, из которого следует, что при изменении ω изменяется и сдвиг фаз ϕ. Из формулы (147.9) вытекает, что при ω = 0 ϕ = 0, а при ω = ω0 независимо от значения коэффициента затухания ϕ = π/2, т. е. сила (напряжение) опережает по фазе колебания на π/2. При дальнейшем увеличении ω сдвиг фаз возрастает и при ω ≫ ω ϕ → π, т.е. фаза колебаний почти противоположна фазе внешней силы (переменного напряжения). Семейство кривых, изображенных на рис. 212, называется фазовыми резонансными кривыми.