Курс физики (стр. 44 из 157)
(82.1)Из формулы (82.1) вытекает, что Е не зависит от длины цилиндра, т. е.
напряженность поля на любых расстояниях одинакова по модулю, иными словами, поле равномерно заряженной плоскости однородно. .
2. Поле двух бесконечных параллельных разноименно зараженных плоскостей (рис. 127). Пусть плоскости заряжены равномерно разноименными зарядами с поверхностными плотностями +α и — α. Поле таких плоскостей найдем как суперпозицию полей, создаваемых каждой из плоскостей в отдельности. На рисунке верхние стрелки соответствуют полю от положительно заряженной плоскости, нижние — от отрицательной плоскости. Слева и справа от плоскостей поля вычитаются (линии напряженности направлены навстречу друг другу), поэтому здесь напряженность поля E = 0. В области между плоскостями Е = Е+ + Е_ (Е+ и E_ определяются по формуле (82.1)), поэтому результирующая напряженность
(82.2)
Рис. 127
Таким образом, результирующая напряженность поля в области между плоскостями описывается формулой (82.2), а вне объема, ограниченного плоскостями, равна нулю.
3. Поле равномерно заряженной сферической поверхности. Сферическая поверхность радиуса R с общим зарядом Q заряжена равномерно с поверхностной плотностью + σ. Благодаря равномерному распределению заряда по поверхности поле, создаваемое им, обладает сферической симметрией. Поэтому линии напряженности направлены радиально (рис. 128).
Рис. 128
Построим мысленно сферу радиуса r, имеющую общий центр с заряженной сферой. Если г > R, то внутрь поверхности попадает весь заряд Q, создающий рассматриваемое поле, и, по теореме Гаусса (81.2), 4πr2E = Q/ε0, откуда
(82.3)При r>R поле убывает с расстоянием r по такому же закону, как у точечного заряда. График зависимости E от г приведен на рис. 129. Если r′ < R, то замкнутая поверхность не содержит внутри зарядов, поэтому внутри равномерно заряженной сферической поверхности электростатическое поле отсутствует
(Е = 0).
Рис. 1294. Поле объемно заряженного шара. Шар радиуса R с общим зарядом Q заряжен равномерно с объемной плотностью ρ (ρ=
dQ - заряд, приходящийся dVна единицу объема). Учитывая соображения симметрии (см. п. 3), можно показать, что для напряженности поля вне шара получится тот же результат, что и в предыдущем случае (см. (82.3)). Внутри же шара напряженность поля будет другая. Сфера радиуса r' < R охватывает заряд G' = 4/3πr′3ρ. Поэтому, согласно
(82.4)Таким образом, напряженность поля вне равномерно заряженного шара описывается формулой (82.3), а внутри его изменяется линейно с расстоянием / согласно выражению (82.4). График зависимости Е от г для рассмотренного случая приведен на рис. 130.
Рис. 1305. Поле равномерно зараженного бесконечного цилиндра (нити). Бесконечный цилиндр радиуса R (рис. 131) заряжен равномерно с линейной плот-
ностью τ (τ=
dQ - заряд, приходящийся на единицу длины). dl
Рис. 131Из соображений симметрии следует, что линии напряженности будут направлены по радиусам круговых сечений цилиндра с одинаковой густотой во все стороны относительно оси цилиндра. В качестве замкнутой поверхности мысленно построим коаксиальный с заряженным цилиндр радиуса r и высотой l. Поток вектора Е сквозь торцы коаксиального цилиндра равен нулю (торцы параллельны линиям напряженности), а сквозь боковую поверхность равен
2πrlE. По теореме Гаусса (81.2), при r > R 2πrlE = τl/ε0, откуда
(82.5)Если г < R, то замкнутая поверхность зарядов внутри не содержит, поэтому в этой области E = 0. Таким образом, напряженность поля вне равномерно заряженного бесконечного цилиндра определяется выражением (82.5), внутри же его поле отсутствует.
§ 83. ЦИРКУЛЯЦИЯ ВЕКТОРА НАПРЯЖЕННОСТИ ЭЛЕКТРОСТАТИЧЕСКОГО ПОЛЯ
Если в электростатическом поле точечного заряда Q из точки 1 в точку 2 вдоль произвольное траектории (рис. 132) перемещается другой точечный заряд Q0, то сила, приложенная к заряду, совершает работу. Работа силы F на элементарном перемещении dl равна
Рис. 132
Так как d/cosα = dr, то
Работа при перемещении заряда Q0 из точки 1 в точку 2
(83.1)не зависит от траектории перемещения, а определяется только положениями начальной 1 и конечной 2 точек. Следовательно, электростатическое поле точечного заряда является потенциальным, а электростатические силы — консервативными (см. § 12).
Из формулы (83.1) следует, что работа, совершаемая при перемещении электрического заряда во внешнем электростатическом поле по любому замкнутому пути L, равна нулю, т.е.
. (83.2)Если в качестве заряда, переносимого в электростатическом поле, взять единичный точечный положительный заряд, то элементарная работ а сил поля на пути dl равна Edl = Eldl, где El = Ecosα - проекция вектора Е на направление элементарного перемещения. Тогда формулу (83.2) можно записать в виде
∫Edl =∫El dl =0 (83.3)L L
Интеграл ∫Edl = ∫El dl называется циркуляцией вектора напряженности.
L L
Следовательно, циркуляция вектора напряженности электростатического поля вдоль любого замкнутого контура равна нулю. Силовое поле, обладающее свойством (83.3), называется потенциальным. Из обращения в нуль циркуляции вектора Е следует, что линии напряженности электростатического поля не могут быть замкнутыми, они начинаются и кончаются на зарядах (соответственно на положительных или отрицательных) или же уходят в бесконечность. Формула (83.3) справедлива только для электростатического поля. В дальнейшем будет показано, что для поля движущихся зарядов условие (83.3) не выполняется ( для него циркуляция вектора напряженности отлична от нуля).
§ 84. ПОТЕНЦИАЛ ЭЛЕКТРИЧЕСКОГО ПОЛЯ
Тело, находящееся в потенциальном поле сил (а электростатическое поле является потенциальным), обладает потенциальной энергией, за счет которой силами поля совершается работа (см. § 12). Как известно (см.(12.2)), работа консервативных сил совершается за счет убыли потенциальной энергии. Поэтому работу (83.1) сил электростатического поля можно представить как разность потенциальных энергий, которыми обладает точечный заряд Q0 в начальной и конечной точках поля заряда Q:
1 QQ0 1 QQ0AU 2 (84.1)
4πε r 4πε r
откуда следует, что потенциальная энергия заряда Q0в поле заряда Q
равна
Она, как и в механике, определяется неоднозначно, а с точностью до произвольной постоянной С. Если считать, что при удалении заряда в бесконечность (r → ∞) потенциальная энергия обращается в нуль (U = 0), то С = 0 и потенциальная энергия заряда Q0, находящегося в поле заряда Q на расстоянии г от него, равна
(84.2)Для одноименных зарядов Q0Q > 0 и потенциальная энергия их взаимодействия (отталкивания) положительна, для разноименных зарядов Q0Q < 0 и потенциальная энергия их взаимодействия (притяжения) отрицательна.