Курс физики (стр. 3 из 157)

Длина пути, пройденного точкой за промежуток времени от t\ до fa, дается интегралом

§ 3. УСКОРЕНИЕ И ЕГО СОСТАВЛЯЮЩИЕ

В случае неравномерного движения важно знать, как быстро изменяется скорость с течением времени. Физической величиной, характеризующей быстроту изменения скорости по модулю и направлению, является ускорение.

Рассмотрим плоское движение, т. е. движение, при котором все участки траектории точки лежат в одной плоскости. Пусть вектор v задает скорость точки А в момент времени t. За время ∆t движущаяся точка перешла в положение В и приобрела скорость, отличную от v как по модулю, так и направлению и равную v₁ = v + ∆v. Перенесем вектор v₁ в точку А и найдем ∆v (рис. 4).

Рис. 4

Средним ускорением неравномерного движения в интервале от t до t+∆r называется векторная величина, равная отношению изменения скорости Ду к интервалу времени ∆г:

Мгиовеивым ускорением а (ускорением) материальной точки в момент време ни t будет предел среднего ускорения:

Таким образом, ускорение а есть векторная величина, равная первой производной скорости по времени.

Разложим вектор ∆v на две составляющие. Для этого из точки А (рис. 4) по направлению скорости v отложим вектор _AD, по модулю равный v₁. Очевидно, что вектор _CD, равный ∆v_τ, определяет изменение скорости за время ∆t по модулю: ∆v_τ = v₁ - v. Вторая же составляющая ∆v_n вектора ∆v характеризует изменение скорости за время ∆t по направлению.

Тангенциальная составляющая ускорения

т. е. равна первой производной по времени от модуля скорости, опреде-

ляя тем самым быстроту изменения скорости по модулю.

Найдем вторую составляющую ускорения. Допустим, что точка В достаточно близка к точке А, поэтому ∆s можно считать дугой окружности некоторого радиуса г, мало отличающейся от хорды АВ. Тогда из подобия треугольников

В пределе при ∆t → 0 получим v₁ → v.

Поскольку v₁ = v, угол EAD стремится к нулю, а так как треугольник EAD равнобедренный, то угол ADE между v и ∆v_n стремится к прямому. Следовательно, при ∆t → 0 векторы ∆v_n и v оказываются взаимно перпендикулярными. Так как вектор скорости направлен по касательной к траектории, то вектор

∆v_n, перпендикулярный вектору скорости, направлен к центру ее кривизны.

Вторая составляющая ускорения, равная

называется нормальной составляющей ускорения и направлена по нормали к траектории к центру ее кривизны (поэтому ее называют также центростремительным ускорением). Полное ускорение тела есть геометрическая сумма тангенциальной и нормальной составляющих (рис. 5):

Рис. 5

Итак, тангенциальная составляющая ускорения характеризует быстроту изменения скорости по модулю (направлена по касательной к траектории), а нормальная составляющая ускорения — быстроту изменения скорости по направлению (направлена к центру кривизны траектории).

В зависимости от тангенциальной и нормальной составляющих ускорения движение можно классифицировать следующим образом:

1) а_τ = 0, a_n= 0 — прямолинейное равномерное движение; 2) a_τ = a = const, a_n = 0 — прямолинейное равнопеременное движение.

При таком виде движения

Если начальный момент времени t₁ = 0, а начальная скорость v₁ = v₀, то, обозначив t₂ = t и v₂ = v, получим a=(v—v₀)/t, откуда

Проинтегрировав эту формулу в пределах от нуля до произвольного момента времени t, найдем, что длина пути, пройденного точкой, в случае равнопеременного движения

t t

s

(v₀ + at)dt = v₀t + at ;

3) a_τ = f(t), a_n = 0 – прямолинейное движение с переменным ускорением;

4) a_τ = 0, a_n = const. При a_τ = 0 скорость по модулю не изменяется, а изменяется по направлению. Из формулы a_n =v²/r следует, что радиус кривизны должен быть постоянным. Следовательно, движение по окружности является равномерным;

5) a_τ = 0, a_n ≠ 0 — равномерное криволинейное движение;

6) a_τ = const, a_n ≠ 0 — криволинейное равнопеременное движение;

7) a_τ = f(t), a_n≠ 0 — криволинейное движение с переменным ускорением.

§ 4. УГЛОВАЯ СКОРОСТЬ И УГЛОВОЕ УСКОРЕНИЕ

Рассмотрим твердое тело, которое вращается вокруг неподвижной оси. Тогда отдельные точки этого тела будут описывать окружности разных радиусов, центры которых лежат на оси вращения. Пусть некоторая точка движется по окружности радиуса R (рис. 6). Ее положение через промежуток времени ∆r зададим углом ∆ϕ. Элементарные (бесконечно малые) повороты можно рас-

сматривать как векторы (они обозначаются ∆ϕ или dϕ). Модуль вектора dϕ равен углу поворота, а его направление совпадает с направлением поступательного движения острия винта, головка которого вращается в направлении движения точки по окружности, т. е. подчиняется правилу правого винта (рис. 6). Векторы, направления которых связываются с направлением вращения, называются псевдовекторами или аксиальными векторами. Эти векторы не имеют определенных точек приложения: они могут откладываться из любой точки оси вращения.

Угловой скоростью называется векторная величина, равная первой производной угла поворота тела по времени:

r

Вектор ω направлен вдоль оси вращения по правилу правого винта, т. е. r

так же, как и вектор dϕ (рис. 7). Размерность угловой скорости dimω=_T⁻¹ , а ее единица — радиан в секунду (рад/с).

Рис. 6 Рис. 7

Линейная скорость точки (см. рис. 6)

т.е

.

В векторном виде формулу для линейной скорости можно написать как векторное произведение:

При этом модуль векторного произведения, по определению, равен еаКяп(шК) а направление совпадает с_r направлением поступательного движения правого винта при его вращении от ω к R.

Если ω =const, то вращение равномерное и его можно характеризовать периодом вращения Т — временем, за которое точка совершает один полный оборот, т. е поворачивается на угол 2π. Так как промежутку времени ∆t = Т соответствует ∆ϕ = 2π, то ω = 2π/Т, откуда

Число полных оборотов, совершаемых телом при равномерном его движении пс ОКОУЖНОСТИ, в единицу времени называется частотой вращения:

откуда

Угловым ускорением называется векторная величина, равная первой производной угловой скорости по времени:

Тангенциальная составляющая ускорения

Нормальная составляющая ускорения

При вращении тела вокруг неподвижной оси вектор углового ускорения направлю вдоль оси вращения в сторону вектора элементарного_r приращения_r угловой скорости. При ускоренном движении вектор ε сонаправлен вектору ω (рис. 8), при замедлен ном — противонаправлен ему (рис. 9).