Курс физики (стр. 126 из 157)
Вероятность dW данного состояния системы можно представить с помощью функции распределения f(q, p):
dW = f(q,p) dq dp. (234.1)
Здесь dW—вероятность того, что точка фазового пространства попадет в элемент фазового объема dqdp, расположенного вблизи данной точки q, р. Иными словами, dW представляет собой вероятность того, что система находится в состоянии, в котором ее координаты и импульсы заключены в интервале q, q+dq и р, p+dp.
Согласно формуле (234.1), функция распределения есть не что иное, как плотностьвероятности определенного состояния системы. Поэтому она должна быть нормирована на единицу:
где интегрирование производится по всему фазовому пространству.
Зная функцию распределения f(q, p) , можно решить основную задачу квантовой статистики — определить средние значения величин, характеризующих рассматрива емую систему. Среднее значение любой функции
(234.2)Если иметь дело не с координатами и импульсами, а с энергией, которая квантуется, то состояние системы характеризуется не непрерывной, а дискретной функцией распределения.
Явное выражение функции распределения в самом общем виде получил американский физик Д. Гиббс (1839—1903). Оно называется каноническим распределением Гиббса. В квантовой статистике каноническое распределение Гиббса имеет вид
(234.3)где А — постоянная, определяемая из условия нормировки к единице, n — совокупность всех квантовых чисел, характеризующих данное состояние. Подчеркнем, что f(En) есть именно вероятность данного состояния, а не вероятность того, что система имеет определенное значение энергии Еn, так как данной энергии может соответствовать не одно, а несколько различных состояний (может иметь место вырождение).
§ 235. ПОНЯТИЕ О КВАНТОВОЙ СТАТИСТИКЕ
БОЗЕ — ЭЙНШТЕЙНА И ФЕРМИ — ДИРАКА
Одним из важнейших «объектов» изучения квантовой статистики, как и классической, является идеальный газ. Это связано с тем, что во многих случаях реальную систему можно в хорошем приближении считать идеальным газом. Состояние системы невзаимодействующих частиц задается с помощью так называемых чисел заполнения Ni — чисел, указывающих степень заполнения квантового состояния (характеризуется данным набором i квантовых чисел) частицами системы, состоящей из многих тождест венных частиц. Для систем частиц, образованных бозонами — частицами с нулевым или целым спином (см. § 226), числа заполнения могут принимать любые целые значения: 0, 1, 2, ... (см. § 227). Для систем частиц, образованных фермионами — частицами с полуцелым спином (см. § 226), числа заполнения могут принимать лишь два значения: 0 для свободных состояний и 1 для занятых (см. § 227). Сумма всех чисел заполнения должна быть равна числу частиц системы. Квантовая статистика позволяет подсчитать среднее число частиц в данном квантовом состоянии, т. е. определить средние числа заполнения 〈Ni〉.
Идеальный газ из бозонов — бозе-газ — описывается квантовой статистикой Бозе — Эйнштейна[39]. Распределение бозонов по энергиям вытекает из так называемого большого канонического распределения Гиббса (с переменным числом частиц) при условии, что число тождественных бозонов в данном квантовом состоянии может быть любым (см. § 227):
(235.1)Это распределение называется распределением Боэе — Эйнштейна. Здесь 〈Ni〉 — среднее число бозонов в квантовом состоянии с энергией Ei, k — постоянная Больцмана, T—термодинамическая температура, µ —химический потенциал; µ не зависит от энергии, а определяется только температурой и плотностью числа частиц. Химический потенциал находится обычно из условия, что сумма всех 〈Ni〉 равна полному числу частиц в системе. Здесь µ ≤ 0, так как иначе среднее число частиц в данном квантовом состоянии отрицательно, что не имеет физического смысла. Он определяет изменение внутренней энергии системы при добавлении к ней одной частицы при условии, что все остальные величины, от которых зависит внутренняя энергия (энтропия, объем), фиксированы.
Идеальный газ из фермионов — фермн-газ — описывается квантовой статистикой Ферми — Дирака[40]. Распределение фермионов по энергиям имеет вид
(235.2)где 〈Ni〉 — среднее число фермионов в квантовом состоянии с энергией Еi, µ — химический потенциал. В отличие от (235.1) µ может иметь положительное значение (это не приводит к отрицательным значениям чисел 〈Ni〉). Это распределение называется распределением Ферми — Дирака.
(ср. с выражением(44.4)), где
(235.3) (235.4)
Таким образом, при высоких температурах оба «квантовых» газа ведут себя подобно классическому газу.
Система частиц называется вырожденной, если ее свойства существенным образом отличаются от свойств систем, подчиняющихся классической статистике. Поведение как бозе-газа, так и ферми-газа отличается от классического газа, они являются вырожденными газами. Вырождение газов становится существенным при весьма низких температурах и больших плотностях. Параметром вырождения называется величина А. При A << 1, т. е. при малой степени вырождения, распределения Бозе — Эйнштейна (235.1) и Ферми — Дирака (235.2) переходят в классическое распределение Максвелла — Больцмана
(235.3).
Температурой вырождения Т0 называется температура, ниже которой отчетливо проявляются квантовые свойства идеального газа, обусловленные тождественностью частиц, т. е. T0 — температура, при которой вырождение становится существенным. Если Т >> T0, то поведение системы частиц (газа) описывается классическими законами.
§ 236. ВЫРОЖДЕННЫЙ ЭЛЕКТРОННЫЙ ГАЗ В МЕТАЛЛАХ
Распределение электронов по различным квантовым состояниям подчиняется принципу Паули (см. § 227), согласно которому в одном состоянии не может быть двух одинаковых (с одинаковым набором четырех квантовых чисел) электронов, они должны отличаться какой-то характеристикой, например направлением спина. Следовательно, по квантовой теории, электроны в металле не могут располагаться на самом низшем энергетическом уровне даже при 0 К. Согласно принципу Паули, электроны вынуждены взбираться вверх «по энергетической лестнице».
Электроны проводимости в металле можно рассматривать как идеальный газ, подчиняющийся распределению Ферми — Дирака (235.2). Если µ0 — химический поте нциал электронного газа при Т— О К, то, согласно (235.2), среднее число 〈N(E)〉 электронов в квантовом состоянии с энергией Е равно
(236.1)Для фермионов (электроны являются фермионами) среднее число частиц в квантовом состоянии и вероятность заселенности квантового состояния совпадают, так как квантовое состояние либо может быть не заселено, либо в нем будет находиться одна частица. Это означает, что для фермионов 〈N(E)〉 = f(E), где f(E) — функция распределения электронов по состояниям.
Из (236.1) следует, что при T=0 К функция распределения 〈N(E)〉 = 1, если E < µ0 и 〈N(E)〉 = 0, если E > µ0. График этой функции приведен на рис. 312, а. В области энергий от 0 до µ0 функция 〈N(E)〉 равна единице. При E = µ0 она скачкообразно изменяется до нуля. Это означает, что при Т = 0 К все нижние квантовые состояния, вплоть до состояния с энергией E = µ0 заполнены электронами, а все состояния с энергией, большей µ0, свободны. Следовательно, µ0 есть не что иное, как максимальная кинетическая энергия, которую могут иметь электроны проводимости в металле при 0 К. Эта максимальная кинетическая энергия называется энергией Ферми и обозначается ЕF (ЕF = µ0). Поэтому распределение Ферми — Дирака обычно записывается в виде
(236.2) 
Рис. 312
Наивысший энергетический уровень, занятый электронами, называется уровнем Фермн. Уровню Ферми соответствует энергия Ферми EF, которую имеют электроны на этом уровне. Уровень Ферми, очевидно, будет тем выше, чем больше плотность электронного газа. Работу выхода электрона из металла нужно отсчитывать не от дна «потенциальной ямы», как это делалось в классической теории, а от уровня Ферми, т. е. от верхнего из занятых электронами энергетических уровней.
Для металлов при не слишком высоких температурах выполняется неравенство kT < ЕF. Это означает, что электронный газ в металлах практически всегда находится в состоянии сильного вырождения. Температура Т0 вырождения (см. § 235) находится из условия kT0 = EF. Она определяет границу, выше которой квантовые эффекты перестают быть существенными. Соответствующие расчеты показывают, что для электронов в металле Т0 = 104 К, т. е. для всех температур, при которых металл может существовать в твердом состоянии, электронный газ в металле вырожден.