Среди всех интегралов движения особое значение имеют аддитивные или асимптотически аддитивные интегралы движения, для которых существует специальное название – законы сохранения. Если рассмотреть две системы, находящиеся очень далеко друг от друга, то физически очевидно, что процессы в одной системе совсем никак не должны влиять на движение другой. Поскольку, с другой стороны ничто не мешает нам рассматривать две такие системы как две части, I и II, единой общей системы, то мы приходим к условию асимптотической аддитивности, который заключается в следующем: если некоторая система (I + II) разделяется на две подсистемы таким образом, что минимум расстояния между материальными точками разных подсистем

, то ее функция Лагранжа распадается на сумму функций Лагранжа обеих подсистем:

. (2)

Законы сохранения имеют глубокое происхождение, связанное с инвариантностью описания механической системы относительно некоторой группы преобразований времени и координат. Существует теорема Нётер, утверждающая, что для системы дифференциальных уравнений, которые могут быть получены как уравнения Эйлера из некоторого вариационного принципа, из инвариантности вариационного функционала относительно однопараметрической непрерывной группы преобразований следует существование одного закона сохранения. Если группа содержит l параметров, то из инвариантности функционала будет следовать существование l законов сохранения.

Наличие входящих в требуемую теоремой Нётер группу преобразований симметрии зависит от природы физической системы. Для рассматриваемых замкнутых систем действие должно быть инвариантным относительно семипараметрической группы преобразований – зависящего от одного сдвига по времени, зависящих от трех параметров пространственных сдвигов и зависящих от трех параметров вращения пространства. В соответствии с этим у всякой замкнутой системы должны существовать 7 сохраняющихся величин, отвечающих указанным преобразованиям. Если система такова, что она допускает еще и другие преобразования симметрии, то сохраняющихся величин может оказаться больше.

2. Доказательство теоремы Нётер

Точно сформулируем и докажем теорему Нётер.

Рассмотрим некоторую систему, описываемую функцией Лагранжа

. (3)

Форма уравнений Лагранжа-Эйлера, получаемых из вариационного принципа с такой функцией Лагранжа, инвариантна относительно преобразований вида

, а также и относительно более общих преобразований

(4)

включающих замену независимой переменной. Однако конкретный вид для нового выражения для действия, как функционала новых координат, зависящих от нового времени, может претерпеть при таком изменении любые изменения.

Теорема Нётер интересуется только тем случаем, когда таких изменений не происходит.

Итак, будем считать, что мы ввели совокупность зависящих от (для простоты) одного параметра l преобразований

обобщенных координат и времени.

Используя (4), получим:

(5)

Пусть преобразования

такие, что

(6)

т.е. образующих однопараметрическую группу. Рассмотрим бесконечно малое преобразование, отвечающее параметру

Тогда

(7)

Собственно вариации обобщенных координат, происходящие при рассматриваемом преобразовании, – это разность значений

новых координат в некоторый момент нового времени и значений старых координат

в соответствующий момент старого времени, т.е.

. (8)

Наряду с ними удобно ввести в рассмотрение вариации формы

(9)

зависимости координат от времени, которые отличны от нуля, даже если наше преобразование затрагивает только время, а не координаты.

Для любой функции справедливо соотношение:

Тогда между двумя введенными видами вариаций есть соотношение, которое можно получить следующим образом: вычтем из (8) уравнение (9), получим:

примем во внимание, что

тогда имеем:

(10)

Вариации без звездочек, относящиеся к одному значению аргумента, перестановочны с дифференцированием по времени

в то время, как для вариаций со звездочками это, вообще говоря, неверно.

Соответствующие два вида вариаций можно ввести и для любой динамической переменной. Например, для функции Лагранжа

(11)

причем

(12)

где

включает дифференцирование как по явно входящему времени, так и по времени, входящему неявно, через координаты и скорости.

Потребуем теперь, чтобы интеграл действия не менялся бы при нашем преобразовании, – это и есть тот исключительный случай, который требуется условием теоремы, – т.е. чтобы было

, (13)

где Т' – та же область интегрирования, что и Т во втором интеграле, но выраженная через новые переменные. Тогда подставив (11) в (13), получим

(14)

Выражаем в (15)

через

(11) и учитывая соотношение

переходя к интегрированию по t вместо t', получим:

Учитывая, что

получим:

(15)

Но

(16)

Теорема Нётер (стр. 1 из 2)

Курсовая работа

Теорема Нётер

Антропов Иван Иванович

Введение

1. Асимптотическая аддитивность интегралов движения. Формулировка теоремы Нётер.

2. Доказательство теоремы Нётер