Переходя к динамике, Лагранж, принимая тела за точки массой m, пишет, что “величины m d 2 x / dt 2 , m d 2 y / dt 2 , m d 2 z / dt 2 (2.9) выражают силы, примененные непосредственно для того, чтобы двигать тело m параллельно осям x, y, z ”.
Заданные ускоряющие силы P, Q, R , …, по Лагранжу, действуют вдоль линий p, q, r, …, пропорциональны массам, направлены к соответствующим центрам и стремятся уменьшить расстояния до этих центров. Поэтому вариации линий действия будут - d p, - d q, - d r , …, а виртуальная работа приложенных сил и сил (2.9) будут соответственно равны
å m (d 2 x / dt 2 d x + d 2 y / dt 2 d y + d 2 z / dt 2 d z) , - å (P d p
+ Q d q + R d r + …) . (2.10)
Приравнивая эти выражения и перенося все члены в одну сторону, Лагранж получает уравнение
å m (d 2 x /dt 2 d x + d 2 y / dt 2 d y + d 2 z / dt 2 d z) + å (P d p
+ Q d q + R d r + …) = 0, (2.11) которое он назвал “общей формулой динамики для движения любой системы тел”. Именно эту формулу Лагранж положил в основу всех дальнейших выводов – как общих теорем динамики, так и теорем небесной механики и динамики жидкостей и газов.
После вывода уравнения (2.11) Лагранж разлагает силы P, Q, R, … по осям прямоугольных координат и приводит это уравнение к следующему виду:
å (m d 2 x / dt 2 +X) d x + (m d 2 y / dt 2 + Y) d y + (m d 2 z / dt 2
+ Z) d z = 0. (2.12)
С точностью до знаков уравнение (2.12) полностью совпадает с современной формой общего уравнения динамики:
å j (F j – m j d 2 r j / dt 2 ) d r j = 0; (2.13) если раскрыть скалярное произведение, то получим уравнение (2.12) (за исключением знаков в скобках)
Таким образом, продолжая труды Эйлера, Лагранж завершил аналитическое оформление динамики свободной и несвободной системы точек и дал многочисленные примеры, иллюстрирующие практическую мощь этих методов. Исходя из “общей формулы динамики”, Лагранж указал две основные формы дифференциальных уравнений движения несвободной системы, носящие ныне его имя: “уравнения Лагранжа первого рода” и уравнения в обобщенных координатах, или “уравнение Лагранжа второго рода”. Что навело Лагранжа на уравнения в обобщенных координатах? Лагранж в своих работах по механике, в том числе и по небесной механике, определял положение системы, в частности, твердого тела различными параметрами (линейными, угловыми или их комбинацией). Для такого гениального математика, каким был Лагранж, естественно встала проблема обобщения – перейти к произвольным, не конкретизированным параметрам.
Это и привело его к дифференциальным уравнениям в обобщенных координатах. Лагранж назвал их “дифференциальные уравнения для решения всех проблем механики”, теперь мы называем их уравнениями Лагранжа II рода:
d / dt L / q j - L / q j = 0 ( L = T – П )
Подавляющее большинство решенных в “Аналитической механике” задач отражает технические проблемы того времени. С этой точки зрения необходимо особо выделить группу важнейших задач динамики, объединенные Лагранжем под общим наименованием “О малых колебаниях любой системы тел”. Этот раздел представляет собой основу современной теории колебаний. Рассматривая малые движения, Лагранж показал, что любое такое движение можно представить как результат наложения друг на друга простых гармонических колебаний.
Механика XIX и начала XX вв. “Аналитическая механика” Лагранжа подвела итог достижениям теоретической механики XVIII в. и определила следующие главные направления ее развития:
1) расширение понятия связей и обобщение основных уравнений динамики несвободной системы для новых видов связей;
2) формулировка вариационных принципов динамики и принципа сохранения механической энергии;
3) разработка методов интегрирования уравнений динамики.
Параллельно с этим выдвигались и были разрешены новые фундаментальные задачи механики. Для дальнейшего развития принципов механики основополагающими были работы выдающегося русского ученого М. В. Остроградского (1801 – 1861). Он первый рассмотрел связи, зависящие от времени, ввел новое понятие о неудерживающих связях, т. е. связях, выражающихся аналитически при помощи неравенств, и обобщил на случай такого рода связей принцип возможных перемещений и общее уравнение динамики. Остроградскому принадлежит также приоритет в рассмотрении дифференциальных связей, накладывающих ограничения на скорости точек системы; аналитически такие связи выражаются при помощи неинтегрируемых дифференциальных равенств или неравенств.
Естественным дополнением, расширяющим область применения принципа Д’Аламбера, явилось предложенное Остроградским приложение принципа к системам, подверженным действию мгновенных и импульсных сил, возникающих при действии на систему ударов. Такого рода ударные явления Остроградский рассматривал, как результат мгновенного уничтожения связей или мгновенного введения в систему новых связей.
В середине XIX в. был сформулирован принцип сохранения энергии: для любой физической системы можно определить величину, называемую энергией и равную сумме кинетической, потенциальной, электрической и других энергий и теплоты, значение которой остается постоянным независимо от того, какие изменения происходят в системе. Значительно ускорившийся к началу XIX в. процесс создания новых машин и стремление к дальнейшему их усовершенствованию вызвали в первой четверти века появление прикладной, или технической, механики. В первых трактатах по прикладной механике окончательно оформились понятия работы сил.
Принцип Д’Аламбера, содержащий наиболее общую формулировку законов движения несвободной системы, не исчерпывает всех возможностей постановки проблем динамики. В середине XVIII в. возникли, и в XIX в. получили развитие новые общие принципы динамики – вариационные принципы.
Первым вариационным принципом явился принцип наименьшего действия, выдвинутый в 1744 г. без какого бы то ни было доказательства, как некоторый общий закон природы, французским ученым П. Мопертюи (1698 – 1756). Принцип наименьшего действия гласит, “что путь, которого он (свет) придерживается, является путем, для которого количество действий будет наименьшим”.
Развитие общих методов интегрирования дифференциальных уравнений динамики относится, главным образом, к середине XIX в. Первый шаг в деле приведения дифференциальных уравнений динамики к системе уравнений первого порядка был сделан в 1809 г. французским математиком С. Пуассоном (1781 – 1840). Задача о приведении уравнений механики к “канонической” системе уравнений первого порядка для случая связей, не зависящих от времени, была решена в 1834 г. английским математиком и физиком У. Гамильтоном (1805 – 1865). Окончательное завершение ее принадлежит Остроградскому, который распространил эти уравнения на случаи нестационарных связей Крупнейшими проблемами динамики, постановка и решение которых относятся, главным образом, к XIX в., являются: движение тяжелого твердого тела, теория упругости (см. Приложение) равновесия и движения, а также тесно связанная с этой теорией задача о колебаниях материальной системы. Первое решение задачи о вращении тяжелого твердого тела произвольной формы вокруг неподвижного центра в частном случае, когда неподвижный центр совпадает с центром тяжести, принадлежит Эйлеру.
Кинематические представления этого движения были даны в 1834 г. Л. Пуансо. Случай вращения, когда неподвижный центр, не совпадающий с центром тяжести тела, помещен на оси симметрии, был рассмотрен Лагранжем. Решение этих двух классических задач легло в основу создания строгой теории гироскопических явлений (гироскоп – прибор для наблюдения вращения). Выдающиеся исследования в этой области принадлежат французскому физику Л. Фуко (1819 – 1968), создавшему ряд гироскопических приборов.
Примерами таких приборов могут служить гироскопический компас, искусственный горизонт, гироскоп и другие. Эти исследования указали на принципиальную возможность, не прибегая к астрономическим наблюдениям, установить суточное вращение Земли и определить широту и долготу места наблюдения. После работ Эйлера и Лагранжа, несмотря на усилия ряда выдающихся математиков, проблема вращения тяжелого твердого тела вокруг неподвижной точки долго не получала дальнейшего развития.
Основы теории движения твердого тела в идеальной жидкости были даны немецким физиком Г. Кирхгофом в 1869 г. С появлением в середине XIX в. нарезных орудий, что имело целью придание снаряду вращения, необходимого для устойчивости в полете, задача внешней баллистики оказалась тесно связанной с динамикой тяжелого твердого тела. Такая постановка задачи и решение ее принадлежит выдающемуся русскому ученому - артиллеристу Н. В. Маевскому (1823 – 1892).
Одной из важнейших проблем механики является задача об устойчивости равновесия и движения материальных систем. Первая общая теорема об устойчивости равновесия системы, находящейся под действием обобщенных сил, принадлежит Лагранжу и изложена в “Аналитической механике”. Согласно этой теореме, достаточным условием равновесия является наличие в положении равновесия минимума потенциальной энергии. Метод малых колебаний, примененный Лагранжем для доказательства теоремы об устойчивости равновесия, оказался плодотворным для исследования устойчивости установившихся движений. В “Трактате об устойчивости заданного состояния движения”.
Английского ученого Э. Рауса, опубликованном в 1877 г., исследование устойчивости методом малых колебаний было сведено к рассмотрению распределения корней некоторого “характеристического” уравнения и указаны необходимые и достаточные условия, при которых эти корни имеют отрицательные вещественные части.
С иной, чем у Рауса, точки зрения задача об устойчивости движения была рассмотрена в сочинении Н. Е. Жуковского (1847 – 1921) “О прочности движения” (1882 г.), в котором изучается орбитальная устойчивость. Критерии этой устойчивости, установленные Жуковским, сформулированы в наглядной геометрической форме, столь характерной для всего научного творчества великого механика.