К концу XVII в. основы механики были обстоятельно разработаны. Если древние века считать предисторией механики, то XVII в. можно рассматривать как период создания ее основ Развитие методов механики в XVIII в .. В XVIII в. потребности производства – необходимость изучения важнейших механизмов, с одной стороны, и проблема движения Земли и Луны, выдвинутая развитием небесной механики, с другой, - привели к созданию общих приемов решения задач механики материальной точки, системы точек твердого тела, развитых в “Аналитической механике” (1788 г.) Ж. Лагранжа (1736 – 1813).
В развитии динамики посленьютоновского периода основная заслуга принадлежит петербургскому академику Л. Эйлеру (1707 – 1783). Он развил динамику материальной точки в направлении применения методов анализа бесконечно малых к решению уравнений движения точки. Трактат Эйлера “Механика, т. е. наука о движении, изложенная аналитическим методом”, вышедший в свет в Петербурге в 1736 г., содержит общие единообразные методы аналитического решения задач динамики точки.
Л. Эйлер - основоположник механики твердого тела.
Ему принадлежит общепринятый метод кинематического описания движения твердого тела при помощи трех эйлеровых углов. Фундаментальную роль в дальнейшем развитии динамики и многих ее технических приложений сыграли установленные Эйлером основные дифференциальные уравнения вращательного движения твердого тела вокруг неподвижного центра. Эйлер установил два интеграла: интеграл момента количеств движения
A 2 w 2 x + B 2 w 2 y + C 2 w 2 z = m
и интеграл живых сил (интеграл энергии)
A w 2 x + B w 2 y + C w 2 z = h,
где m и h – произвольные постоянные, A,B и C – главные моменты инерции тела для неподвижной точки, а w x, w y, w z – проекции угловой скорости тела на главные оси инерции тела.
Эти уравнения явились аналитическим выражением открытой им теоремы моментов количества движения, которая представляет собой необходимое дополнение к закону количестве движения, сформулированному в общем виде в “Началах” Ньютона. В “Механике” Эйлера дана близкая к современной формулировка закона “живых сил” для случая прямолинейного движения и отмечено наличие таких движений материальной точки, при которых изменение живой силы при переходе точки из одного положения в другое не зависит от формы траектории. Этим было положено начало понятия потенциальной энергии. Эйлер – основоположник гидромеханики. Им были даны основные уравнения динамики идеальной жидкости; ему принадлежит заслуга создания основ теории корабля и теории устойчивости упругих стержней; Эйлер заложил основу теории расчета турбин, выведя турбинное уравнение; в прикладной механике имя Эйлера связано с вопросами кинематики фигурных колес, расчета трения между канатом и шкивом и многими другими.
Небесная механика была в значительной своей части развита французским ученым П. Лапласом (1749 – 1827), который в обширном труде “Трактат о небесной механике” объединил результаты исследования своих предшественников – от Ньютона до Лагранжа – собственными исследованиями устойчивости солнечной системы, решением задачи трех тел, движения Луны и многих других вопросов небесной механики (см. Приложение).
Одним из важнейших приложений ньютоновской теории тяготения явился вопрос о фигурах равновесия вращающихся жидких масс, частицы которых тяготеют друг к другу, в частности о фигуре Земли. Основы теории равновесия вращающихся масс были изложены Ньютоном в третьей книге “Начал”.
Проблема фигур равновесия и устойчивости вращающейся жидкой массы сыграла значительную роль в развитии механики.
Великий русский ученый М. В. Ломоносов (1711 – 1765) высоко оценивал значение механики для естествознания, физики и философии. Ему принадлежит материалистическая трактовка процессов взаимодействия двух тел: “когда одно тело ускоряет движение другого и сообщает ему часть своего движения, то только так, что само теряет такую же часть движения”. Он является одним из основоположников кинетической теории теплоты и газов, автором закона сохранения энергии и движения. Приведем слова Ломоносова из письма Эйлеру (1748 г.): “Все изменения, случающиеся в природе, проходят так, что если что-либо прибавится к чему-либо, то столько же отнимется от чего-то другого. Так, сколько к какому-нибудь телу присоединится материи, столько же отнимется от другого; сколько часов я употребляю в сон, столько же отнимаю от бдения и т. д. Так как этот закон природы всеобщ, то он простирается даже и в правила движения, и тело, побуждающее своим толчком другое к движению столько же теряет своего движения, сколько сообщает другому, движимому им”.
Ломоносов впервые предсказал существование абсолютного нуля температуры, высказал мысль о связи электрических и световых явлений. В результате деятельности Ломоносова и Эйлера появились первые труды русских ученых, творчески овладевших методами механики и способствовавших ее дальнейшему развитию.
История создания динамики несвободной системы связана с развитием принципа возможных перемещений, выражающим общие условия равновесия системы. Этот принцип был впервые применен голландским ученым С. Стевином (1548 – 1620) при рассмотрении равновесия блока. Галилей сформулировал принцип в виде “золотого правила” механики, согласно которому “что выигрывается в силе, то теряется в скорости”. Современная формулировка принципа была дана в конце XVIII в. на основе абстракции “идеальных связей”, отражающих представление об “идеальной” машине, лишенной внутренних потерь на вредные сопротивления в передаточном механизме. Выглядит она следующим образом: если в положении изолированного равновесия консервативной системы со стационарными связями потенциальная энергия имеет минимум, то это положение равновесия устойчиво.
Созданию принципов динамики несвободной системы способствовала задача о движении несвободной материальной точки. Материальная точка называется несвободной, если она не может занимать произвольного положения в пространстве.
В этом случае принцип Д’Аламбера звучит следующим образом: действующие на движущуюся материальную точку активные силы и реакции связей можно в любой момент времени уравновесить добавлением к ним силы инерции.
Выдающийся вклад в развитие аналитической динамики несвободной системы внес Лагранж, который в фундаментальном двухтомном сочинении “Аналитическая механика” указал аналитическое выражение принципа Д’Аламбера – “общую формулу динамики”. Как же Лагранж получил ее?
После того, как Лагранж изложил различные принципы статики, он переходит к установлению “общей формулы статики для равновесия любой системы сил”. Начиная с двух сил, Лагранж устанавливает методом индукции следующую общую формулу для равновесия любой системы сил:
P dp + Q dq + R dr + … = 0. (2.1)
Это уравнение представляет математическую запись принципа возможных перемещений. В современных обозначениях этот принцип имеет вид
å n j=1 F j d r j = 0 (2.2)
Уравнения (2.1) и (2.2) практически одинаковы. Основное отличие состоит, конечно, не в форме записи, а в определении вариации: в наши дни – это произвольно мыслимое перемещение точки приложения силы, совместимое со связями, а у Лагранжа – это малое перемещение вдоль линии действия силы и в сторону ее действия Лагранж вводит в рассмотрение функцию П (теперь она называется потенциальной энергией), определив ее равенством.
d П = P dp + Q dq + R dr + … , (2.3) в декартовых координатах функция П (после интегрирования) имеет вид
П = А + Вx + Сy + Dz + … + Fx 2 + Gxy + Hy 2 + Kxz + Lyz +
Mz 2 + … (2.4)
Для дальнейшего доказательства Лагранж изобретает знаменитый метод неопределенных множителей. Сущность его состоит в следующем. Рассмотрим равновесие n материальных точек, на каждую из которых действует сила F j . Между координатами точек имеется m связей j r = 0, зависящих только от их координат. Учитывая, что d j r = 0, уравнение (2.2) сразу можно привести к следующей современной форме:
å n j=1 F j d r j + å m r=1 l r d j r = 0, (2.5) где l r – неопределенные множители. Отсюда получаются следующие уравнения равновесия, называемые уравнениями Лагранжа I рода:
X j + å m r=1 l r j r / x j = 0, Y j + å m r=1 l r j r / y j = 0,
Z j + å m r=1 l r j r / z j = 0 (2.6) К этим уравнениям нужно присоединить m уравнений связей j r = 0 (X j , Y j , Z j – проекции силы F j )
Покажем, как Лагранж использует этот метод для вывода уравнений равновесия абсолютно гибкой и нерастяжимой нити. Прежде всего, отнесенную к единице длины нити (ее размерность равна F / L ).
Уравнение связи для нерастяжимой нити имеет вид ds = const, и, следовательно, d ds = 0. В уравнении (2.5) суммы переходят в интегралы по длине нити l ò l 0 F d rds + ò l 0 l d ds = 0. (2.7) Учитывая равенство (ds) 2 = (dx) 2 + (dy) 2 + (dz) 2 , найдем
d ds = dx / ds d dx + dy / ds d dy + dz / ds d dz.
Отсюда
ò l 0 l d ds = ò l 0 ( l dx / ds d dx + l dy / ds d dy + l dz / ds d dz)
или, переставляя операции d и d и интегрируя по частям,
ò l 0 l d ds = ( l dx / ds d x + l dy / ds d y + l dz / ds d z) –
- ò l 0 d ( l dx / ds) d x + d ( l dy / ds) d y + d ( l dz / ds) d z.
Считая, что нить на концах закреплена, получим d x = d y = d z = 0 при s = 0 и s = l , и, следовательно, первое слагаемое обращается в нуль. Оставшуюся часть внесем в уравнение (2.7), раскроем скалярное произведение F * dr и сгруппируем члены:
ò l 0 [ Xds – d ( l dx / ds) ] d x + [ Yds – d ( l dy / ds) ] d y + [ Zds
– d ( d dz / ds) ] d z = 0
Так как вариации d x, d y и d z произвольны и независимы, то все квадратные скобки должны равняться нулю, что дает три уравнения равновесия абсолютно гибкой нерастяжимой нити:
d / ds ( l dx / ds) – X = 0, d / ds ( l dy / ds) – Y = 0,
d/ ds ( l dz / ds) – Z = 0. (2.8)
Лагранж так объясняет физический смысл множителя l : “Так как величина l d ds может представлять собой момент некоторой силы l (в современной терминологии –“виртуальная (возможная) работа”) стремящейся уменьшить длину элемента ds , то член ò l d ds общего уравнения равновесия нити выразит сумму моментов всех сил l , которые мы можем себе представить действующими на все элементы нити. В самом деле, благодаря своей нерастяжимости каждый элемент противостоит действию внешних сил, и это сопротивление обычно рассматривают как активную сила, которую называют натяжением. Таким образом, l представляет собою натяжение нити ”