Движение в центрально-симметричном поле (стр. 5 из 6)
где
. Радиальные собственные функции непрерывного спектра имеют вид
(3,18)где
- нормировочный множитель. Они могут быть представлены в виде комплексного интеграла
, (3,19)который берется по контуру ( см. рис ниже ).
Подстановкой
этот интеграл приводится к более симметричному виду
(3,20)( путь интегрирования обходит в положительном направлении точки
). Из этого выражения непосредственно видно, что функции 
вещественны.Асимптотическое разложение вырожденной гипергеометрической функции позволяет непосредственно получить такое же разложение для волновой функции
(3,21)
Если нормировать волновые функции «по шкале
» , то нормировочный коэффициент 
равен
(3,22)Действительно, асимптотическое выражение
при больших 
( первый член разложения (3,21) ) тогда имеет вид
,(3,23)
в согласии с общим видом нормировочных волновых функций непрерывного спектра в центрально-симметричном поле. Выражение (3,23) отличается от общего вида наличием логарифмического члена в аргументе у синуса; поскольку, однако,
растет при увеличении медленно по сравнению с самим , то при вычислении нормировочного интеграла, расходящегося на бесконечности, наличие этого члена не существенно.Модуль Г-функции, входящий в выражение (3,22) для нормировочного множителя, может быть выражен через элементарные функции. Воспользовавшись известными свойствами Г-функций
, 
,имеем
, 
и далее
.Таким образом,
(3,24)( при
произведение заменяется на 1 ).Предельным переходом
можно получить радиальную функцию для особого случая равной нулю энергии. При 
,где
- функция Бесселя. Коэффициенты 
(3,24) при сводятся к 
Отсюда находим
(3,25)Асимптотический вид этой функции при больших
(3,26)Множитель
исчезает при переходе к нормировке «по шкале энергии», т.е. от функции 
к функции 
; именно функция остается конечной в пределе 
.В кулоновом поле отталкивания
имеется только непрерывный спектр положительных собственных значений энергии. Уравнение Шредингера в этом поле может быть формально получено из уравнения для поля притяжения изменением знака у . Поэтому волновые функции стационарных состояний получаются непосредственно из (3,18) посредством этой же замены.Нормировочный коэффициент снова определяется по асимптотическому выражению и в результате получается
,
. (3,27)Асимптотическое выражение этой функции при больших
имеет вид 
,(3,28)
.
Природа кулонова вырождения.
При классическом движении частицы в кулоновом поле имеет место специфический для этого поля закон сохранения; в случае поля притяжения
(3,29)В квантовой механике этой величине отвечает оператор
(3,30)коммутативный, как легко проверить, с гамильтонианом
.Прямое вычисление приводит к следующим правилам коммутации для операторов
друг с другом и с оператором момента:
, 
. (3,31)Некоммутативность операторов
друг с другом означает, что величины 
не могут иметь в квантовой механике одновременно определенных значений. Каждый из этих операторов, скажем 
, коммутативен с такой же компонентой момента 
, но некоммутативен с оператором квадратамомента
. Наличие новой сохраняющейся величины, не измеримой одновременно с другими сохраняющимися величинами, , приводит к дополнительному вырождению уровней, - это и есть специфическое для кулонова поля «случайное» вырождение дискретных уровней энергии.Происхождение этого вырождения можно сформулировать также и в терминах той повышенной симметрии ( по сравнению с симметрией по отношению к пространственным вращениям ), которой обладает кулонова задача в квантовой механике.
Для этого отмечаем, что для состояний дискретного спектра, с фиксированной отрицательной энергией, можно заменить
в правой стороне соотношения (3,31) на 
и ввести вместо операторы 
. Для них правила коммутации принимают вид